Gęstość rozkładów brzegowych

[robix]

Witam, mam przykładowe pytania z egzaminu i nie mogę sobie z nim poradzić.
Odpowiedzi muszę wskazać TAK/NIE. Jeśli na TAK- uzasadnić formalnie lub podać rozwiązanie problemu. , jak na NIE- zmienić je tak, aby było prawdziwe i uzasadnić formalnie odpowiedź lub podać rozwiązanie problemu.

Będę wdzięczny za wszelką pomoc

Zadanie 1
Jeżeli \(\displaystyle{ f _{X,Y}}\) jest gęstością rozkładu łącznego pary ciągłych zmiennych losowych \(\displaystyle{ (X,Y)}\), to można na jej podstawie wyznaczyć gęstości rozkładów brzegowych zmiennych losowych \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\).
T / N

Odp: TAK. Jeśli \(\displaystyle{ f(x,y)}\) jest funkcją gęstości to mamy wzory na:
rozkład brzegowy zm. X:
\(\displaystyle{ f_{X}(x) = \int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dy}\)

rozkład brzegowy zm. Y:
\(\displaystyle{ f_{Y}(y) = \int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dx}\)
Zgadza się czy coś pomyliłem lub przeoczyłem?

Zadanie 2
Jeżeli \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) są dyskretnymi zmiennymi losowymi o łącznej funkcji masy prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ f _{X,Y}}\), to \(\displaystyle{ E(X + Y) = EX + EY}\).

Odp: TAK, jest taki wzór we własnościach, ale niestety dowodu nigdzie nie znalazłem. Jak to udowodnić formalnie?


Z góry ślicznie dziękuje za wszelką pomoc

[jarek4700]

Pierwsze ok.

Drugie:
\(\displaystyle{ E(X+Y) = \int_{- \infty }^{ \infty } \int_{- \infty }^{ \infty }(x+y) f_{X,Y}(x,y)dxdy = \int_{- \infty }^{ \infty } \int_{- \infty }^{ \infty }(xf_{X,Y}(x,y) +yf_{X,Y}(x,y))dxdy =}\)
\(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{ \infty } \int_{- \infty }^{ \infty } xf_{X,Y}(x,y)dxdy + \int_{- \infty }^{ \infty } \int_{- \infty }^{ \infty }y f_{X,Y}(x,y)dxdy = EX + EY}\)

Edit: sorry miały być dyskretne.
Więc będzie analogicznie tylko że \(\displaystyle{ E(X+Y) = \sum_{i=1}^{ \infty } \sum_{j=1}^{ \infty } (x_{i}+y_{j})p_{ij}}\)

Szereg ten jest zbieżny bezwzględnie gdyż \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{ \infty } \sum_{j=1}^{ \infty }|(x_{i}+y_{j})p_{ij}| < \left(\max_{{i,j} \in (1, \infty ) \times (1, \infty )}|x_{i}+y_{j}|\right)\sum_{i=1}^{ \infty } \sum_{j=1}^{ \infty }p_{ij} =}\)
\(\displaystyle{ =\left(\max_{{i,j} \in (1, \infty ) \times (1, \infty )}|x_{i}+y_{j}|\right)}\)
Więc możesz go rozbić na dwa.

[robix]

Tak, dla ciągłych też mam.

Fakt. dla zm. los. ciągłych
\(\displaystyle{ E(X+Y) = EX + EY}\)

Dowód:
\(\displaystyle{ E(X+Y) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty}(x+y) f(x,y) dxdy=}\)

\(\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty}x \cdot f(x,y)dydx + \int\limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty}y\cdot f(x,y)dxdy =}\)

\(\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^{\infty}x \cdot \underbrace{\left(\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dy\right)}_{f _{X} (x)}dx + \int\limits_{-\infty}^{\infty}y \cdot \underbrace{\left(\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dx\right)}_{f _{Y}(y)}dy =}\)

\(\displaystyle{ =\int\limits_{-\infty}^{\infty}x\cdot f _{X}(x)dx + \int\limits_{-\infty}^{\infty}y\cdot f _{Y}(y)dy = EX + EY}\)

Dzięki wielkie za dowodzik dla zm. los. DYSKRETNYCH! Choć chyba mi się wydaję, że jakoś prościej powinno być