Czy dana funkcja jest gęstością ciągłej zm. losowej?

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
robix
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 11 lis 2012, o 19:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: ;-)
Podziękował: 12 razy

Czy dana funkcja jest gęstością ciągłej zm. losowej?

Post autor: robix »

Witam, mam przykładowe pytanie z egzaminu i nie mogę sobie z nim poradzić.
Odpowiedzi muszę wskazać TAK/NIE. Jeśli na TAK- uzasadnić formalnie lub podać rozwiązanie problemu. , jak na NIE- zmienić je tak, aby było prawdziwe i uzasadnić formalnie odpowiedź lub podać rozwiązanie problemu.

Będę wdzięczny za wszelką pomoc

Zadanie 1
Funkcja dana wzorem

\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} \lambda e^{-\frac{x}{100}} &\text{dla } x \ge 0\\0 &\text{dla } x<0 \end{cases}}\)

jest gęstością pewnej ciągłej zmiennej losowej.

Moje przemyślenia: \(\displaystyle{ \lambda}\) we wzorze gęstości? Wydaję mi się , że nie spotkałem się z takim czymś w losowych zmiennych ciągłych. Lambda była w los.zm. dyskretnych przy rozkładzie Poissona i np. przybliżaniu rozkładu dwumianowego. Wtedy \(\displaystyle{ EX=np=\lambda}\) i jechało się wzorem i podawało rozkład zm. losowej dyskretnej.
Kolejna sprawa to funkcja gęstości.
To może można skorzystać z \(\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)=1}\) i po prostu policzyć całkę z funkcji gęstości \(\displaystyle{ \lambda e^{-\frac{x}{100}}}\) ,a \(\displaystyle{ \lambda}\) potraktować jako stałą?
Ale potem też nie wiadomo jak z tą lambdą...

Proszę o pomoc. Z góry ślicznie wszystkim dziękuje!
jarek4700
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 939
Rejestracja: 26 gru 2009, o 17:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Mazowsze
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 228 razy

Czy dana funkcja jest gęstością ciągłej zm. losowej?

Post autor: jarek4700 »

Rozkład wykładniczy dla \(\displaystyle{ \lambda = \frac{1}{100}}\)
robix
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 11 lis 2012, o 19:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: ;-)
Podziękował: 12 razy

Czy dana funkcja jest gęstością ciągłej zm. losowej?

Post autor: robix »

Czyli zgodnie z treścią:
"Odpowiedzi muszę wskazać TAK/NIE. Jeśli na TAK- uzasadnić formalnie lub podać rozwiązanie problemu."
No i teraz jak to uzasadnić formalnie...

Rozkład wykładniczy:
Gęstość: \(\displaystyle{ f(x) = \lambda e^{-\lambda x}}\) dla \(\displaystyle{ x \ge 0}\)

Podstawiając \(\displaystyle{ \lambda = \frac{1}{100}}\) pod podany wzór funkcji gęstości:
\(\displaystyle{ f(x) = \lambda e^{-\frac{x}{100}}}\) dla \(\displaystyle{ x \ge 0}\)

otrzymujemy funkcję gęstości prawdopodobieństwa rozkładu wykładniczego:
\(\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{100} e^{-\frac{1}{100}x}}\) dla \(\displaystyle{ x \ge 0}\)

Odp: TAK, ze względu na \(\displaystyle{ \lambda}\)-lambdę. Dla konkretnej wartości \(\displaystyle{ \lambda = \frac{1}{100}}\) funkcja dana wzorem jest gęstością ciągłej zm. losowej rozkładu wykładniczego, dla innych wartości \(\displaystyle{ \lambda}\)-lambdy dana funkcja NIE jest gęstością.

Dobrze? Czy może coś poprawić, żeby profesorek się nie doczepił?
Ostatnio zmieniony 6 wrz 2014, o 16:07 przez robix, łącznie zmieniany 5 razy.
miodzio1988

Czy dana funkcja jest gęstością ciągłej zm. losowej?

Post autor: miodzio1988 »

mozesz podac odpowiedz ze wzgledu na lambdę. Tak, dla tej konkretnej wartosci, nie dla pozostalych
ODPOWIEDZ