Zastosowanie inf i sup

[karolcia_23]

Cześć mam dwa takie zadania, ale mam pytanie czy zawsze przy inf stosuje całkę, a przy sup tylko wzór włączeń i wyłączeń, tak jak w rozwiązaniach niżej?

Zadanie1:
Niech \(\displaystyle{ X_0,X_1,X_2,...}\) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych takich, że \(\displaystyle{ X_n \sim U(0,1)}\), \(\displaystyle{ n \ge 0}\). Obliczyć \(\displaystyle{ EY}\), gdzie \(\displaystyle{ Y=inf\left\{ n; X_n > X_0\right\}}\).

Odp.:
\(\displaystyle{ P(Y=n)=\int_0^1 P(X_1 \le t | X_0=t) \cdot ... \cdot P(X_{n-1} \le t | X_0=t) \cdot P(X_n > t | X_0=t)dt=\\ \int_0^1 F_(X_1)(t) \cdot ... \cdot F_(X_{n-1})(t) \cdot (1-F_(X_n)(t))dt=\\ \int_0^1 t^{n-1}(1-t) dt= \\ \left[ t^n \cdot (\frac{1}{n}-\frac{t}{n+1}){\right]|_{[0,1]}=\\ \frac{1}{n(n+1)}}\)

Zadanie2:
Niech \(\displaystyle{ X_1,X_2,...}\) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie wykładniczym z parametrem \(\displaystyle{ \lambda}\). Niech dla \(\displaystyle{ t \ge 0}\) \(\displaystyle{ N_t=sup\left\{ n;X_1+...+X_n \le t\right\}}\) gdy \(\displaystyle{ X_1 \le t}\), \(\displaystyle{ N_t=0}\) gdy \(\displaystyle{ X_1>t}\). Wyznacz rozkład zmiennej \(\displaystyle{ N_t}\) dla każdego \(\displaystyle{ t>0}\).

Odp.:
\(\displaystyle{ P(N_t=k)=P(S_k \le t, S_{k+1}>t)=P(S_k \le t)+P(S_{k+1}<t)-P(S_k \le t \vee S_{k+1}>t)=\\F_{S_k}(t)+(1-F_{S_{k+1}}(t))-1=F_{S_k}(t)+F_{S_{k+1}}(t)=e^{-\lambda t} \frac{(\lambda t)^k}{K!}}\)