Ustawianie kul w ciąg

[Kaef]

Mam takie oto zadanie:

Dziewięć kul (trzy białe, trzy czerwone i trzy czarne) ustawiamy losowo w ciąg. Obliczyć prawdopodobieństwo, że żadne kule tego samego koloru nie będą stały obok siebie.

\(\displaystyle{ \Omega}\) - zbiór wszystkich możliwości ustawień 9 kul w ciąg

\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}}=9!}\)

A - zdarzenie, że żadne dwie kule tego samego koloru nie będą stały obok siebie

I w tym miejscu mam problem, jak obliczyć moc zdarzenia A? Przez zdarzenie przeciwne? Ale co wtedy - każde trzy kule mają stać koło siebie/każde dwie? Czy ktoś mógłby mi pomóc?

Wynik to rzekomo \(\displaystyle{ \frac{29}{280}}\), ale za nic w świecie nie mogę do niego dojść.

[sebnorth]

Przyjąłem \(\displaystyle{ \Omega = \frac{9!}{3! \cdot 3! \cdot 3!} = 1680}\). Zmieniająć ustawienie kul o tych samych kolorach między sobą nie otrzymujemy nowego innego ustawienia.

Zliczyłem na piechotę:

Mam 3 kolory a,b,c. Ustawiam 6 kul np: \(\displaystyle{ a,a,b,a,b,b}\). Teraz mam 3 kule c i mogę je wstawiać w wolne miejsca między kula a i b. Ogranicza mnie to że na pewno jedną kulę c muszę wstawić między dwie a i jedną c między dwie b. Trzecią c mogę wstawić na jedno z 5 wolnych miejsc.

W przedostatniej kolumnie tabelki jest ilość tych c które muszę wstawić żeby rozdzielić a lub b. W ostatniej kolumnie jest ilość takich możliwości. Na przykład liczba 35 wynika z tego że jest 7 po 3 sposobów na umieszczenie 3 kul c na 7 miejscach. Sumując ostatnią kolumnę dostajemy 174.

a a a b b b 4 0
a a b a b b 2 5
a a b b a b 2 5
a a b b b a 3 1
a b a a b b 2 5
a b a b a b 0 35
a b a b b a 1 15
a b b a a b 2 5
a b b a b a 1 15
a b b b a a 3 1
b a a a b b 3 1
b a a b a b 1 15
b a a b b a 2 5
b a b a a b 1 15
b a b a b a 0 35
b a b b a a 2 5
b b a a a b 3 1
b b a a b a 2 5
b b a b a a 2 5
b b b a a a 4 0

\(\displaystyle{ \frac{174}{1680} = \frac{29}{280}}\)