Witajcie!
Zmienne \(\displaystyle{ X,Y}\) są niezależne i mają rozkład jednostajny na odcinku \(\displaystyle{ \left[ 0,1 \right]}\). Wyznaczyć gęstość rozkładu zmiennej \(\displaystyle{ X-Y}\).
Teraz, niech ktoś poprawi jeśli coś mylę:
Niech
\(\displaystyle{ f_1(x)}\) - gęstość zmiennej \(\displaystyle{ X}\).
\(\displaystyle{ f_2(y)}\) - gęstość zmiennej \(\displaystyle{ Y}\).
Wyznaczam rozkład zmiennej \(\displaystyle{ X-Y}\)
\(\displaystyle{ \int f_1(x-y) \cdot f_2(-y) dy = \int_{-1}^{0} f_1(x-y) dy = (*)}\)
Podstawiając \(\displaystyle{ z=x-y}\) mamy \(\displaystyle{ z:x+1 \rightarrow x , dz=-dx}\)
\(\displaystyle{ (*)=- \int_{x+1}^{x} f_1(z) dz = \int_{x}^{x+1} f_1(z)dz=(**)}\)
I teraz dla \(\displaystyle{ x<-1}\) całka się zeruje
Dla \(\displaystyle{ -1 \leq x <0}\) mamy \(\displaystyle{ (**)=\int_{0}^{x+1} dz = x+1}\)
Dla \(\displaystyle{ 0 \leq x < 1}\) mamy \(\displaystyle{ (**)=\int_{x}^{1} dz = x-1}\)
Natomiast dla \(\displaystyle{ 1 \leq x}\) całka także się zeruje.
Czy to jest takie proste, czy wkradła się prostota myślenia?
Rozkład X-Y - splot
-
- Użytkownik
- Posty: 28
- Rejestracja: 2 cze 2013, o 09:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 1 raz
-
- Użytkownik
- Posty: 1824
- Rejestracja: 11 sty 2007, o 20:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice, Warszawa
- Podziękował: 73 razy
- Pomógł: 228 razy
Rozkład X-Y - splot
Merytorycznie dobrze - to jest takie proste. Nie sprawdzałem natomiast obliczeń.
- fon_nojman
- Użytkownik
- Posty: 1599
- Rejestracja: 13 cze 2009, o 22:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 255 razy
Rozkład X-Y - splot
Gęstość na pewno źle wyszła bo dla \(\displaystyle{ 0 \le x<1}\) twoja gęstość jest ujemna.
Powinien wyjść rozkład trójkątny o gęstości
\(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} 0\ dla\ |x|>1 \\ -|x|+1\ dla\ x\in [-1,1] \end{cases}}\)
Powinien wyjść rozkład trójkątny o gęstości
\(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} 0\ dla\ |x|>1 \\ -|x|+1\ dla\ x\in [-1,1] \end{cases}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 28
- Rejestracja: 2 cze 2013, o 09:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 1 raz
Rozkład X-Y - splot
Oczywiście, to po prostu błąd nieuwagi, powinno być \(\displaystyle{ 1-x}\) dla \(\displaystyle{ x \in \left[ 0,1 \right]}\).
Dzięki!
Dzięki!