Rozkład X-Y - splot

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
kryger_rio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 28
Rejestracja: 2 cze 2013, o 09:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 1 raz

Rozkład X-Y - splot

Post autor: kryger_rio »

Witajcie!

Zmienne \(\displaystyle{ X,Y}\) są niezależne i mają rozkład jednostajny na odcinku \(\displaystyle{ \left[ 0,1 \right]}\). Wyznaczyć gęstość rozkładu zmiennej \(\displaystyle{ X-Y}\).

Teraz, niech ktoś poprawi jeśli coś mylę:

Niech
\(\displaystyle{ f_1(x)}\) - gęstość zmiennej \(\displaystyle{ X}\).
\(\displaystyle{ f_2(y)}\) - gęstość zmiennej \(\displaystyle{ Y}\).

Wyznaczam rozkład zmiennej \(\displaystyle{ X-Y}\)

\(\displaystyle{ \int f_1(x-y) \cdot f_2(-y) dy = \int_{-1}^{0} f_1(x-y) dy = (*)}\)

Podstawiając \(\displaystyle{ z=x-y}\) mamy \(\displaystyle{ z:x+1 \rightarrow x , dz=-dx}\)

\(\displaystyle{ (*)=- \int_{x+1}^{x} f_1(z) dz = \int_{x}^{x+1} f_1(z)dz=(**)}\)

I teraz dla \(\displaystyle{ x<-1}\) całka się zeruje
Dla \(\displaystyle{ -1 \leq x <0}\) mamy \(\displaystyle{ (**)=\int_{0}^{x+1} dz = x+1}\)
Dla \(\displaystyle{ 0 \leq x < 1}\) mamy \(\displaystyle{ (**)=\int_{x}^{1} dz = x-1}\)
Natomiast dla \(\displaystyle{ 1 \leq x}\) całka także się zeruje.

Czy to jest takie proste, czy wkradła się prostota myślenia?
Marcinek665
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1824
Rejestracja: 11 sty 2007, o 20:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice, Warszawa
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 228 razy

Rozkład X-Y - splot

Post autor: Marcinek665 »

Merytorycznie dobrze - to jest takie proste. Nie sprawdzałem natomiast obliczeń.
Awatar użytkownika
fon_nojman
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1599
Rejestracja: 13 cze 2009, o 22:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 68 razy
Pomógł: 255 razy

Rozkład X-Y - splot

Post autor: fon_nojman »

Gęstość na pewno źle wyszła bo dla \(\displaystyle{ 0 \le x<1}\) twoja gęstość jest ujemna.

Powinien wyjść rozkład trójkątny o gęstości
\(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} 0\ dla\ |x|>1 \\ -|x|+1\ dla\ x\in [-1,1] \end{cases}}\)
kryger_rio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 28
Rejestracja: 2 cze 2013, o 09:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 1 raz

Rozkład X-Y - splot

Post autor: kryger_rio »

Oczywiście, to po prostu błąd nieuwagi, powinno być \(\displaystyle{ 1-x}\) dla \(\displaystyle{ x \in \left[ 0,1 \right]}\).

Dzięki!
ODPOWIEDZ