Cz. całkowita i cz. ułamkowa - rozkłady

[kryger_rio]

Witajcie!

Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład wykładniczy z parametrem 1. Wyznaczyć rozkłady zmiennych \(\displaystyle{ \left[ X \right] , \left\{ X \right\}}\).

No to weźmy t \(\displaystyle{ \geq 0.}\) Wtedy \(\displaystyle{ F_{\left[ X \right] }(t)=P(\left[ X \right] =t)=P(t \leq X < t+1)=e^{-t}-e^{-(t+1)}}\).

Teraz pytanie, czy prawidłowo próbuję ugryźć część całkowitą:

\(\displaystyle{ \newline F_{\left\{ X \right\} }(t)=P(\left\{ X \right\} \leq t)=P(X-\left[ X \right] \leq t)=P(X \leq t+\left[ X \right] )=}\)

\(\displaystyle{ \newline \sum_{a=0}^{\infty} P(X \leq t + a) \cdot P(\left[ X \right]=a)}\).

Będę wdzięczny za wskazówkę.

[mm34639]

W tym pierwszym nie liczysz dystrybuanty - czyli powinno być bez tego kawałka z \(\displaystyle{ F}\). Czyli

No to weźmy t \(\displaystyle{ \geq 0.}\) Wtedy \(\displaystyle{ P(\left[ X \right] =t)=P(t \leq X < t+1)=e^{-t}-e^{-(t+1)}}\).

Oczywiście \(\displaystyle{ t}\) jest całkowite, rozkład \(\displaystyle{ [X]}\) dyskretny.

W drugiej części próbujesz ugryźć część ułamkową a nie całkowitą - ona ma rozkład ciągły (tzn. taki z gęstością), skupiony na \(\displaystyle{ [0,1]}\).

Dystrybuanta równa \(\displaystyle{ 0}\) dla \(\displaystyle{ t<0}\), \(\displaystyle{ 1}\) dla \(\displaystyle{ t>1}\), zastanawiamy się co się dzieje w \(\displaystyle{ [0,1]}\).

Dla \(\displaystyle{ t \in [0,1]}\), \(\displaystyle{ \mathbb{P}(X<t)=}\) (dlaczego?)\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}F(t+n)-F(n)=\ldots}\)

chyba tak

[kryger_rio]

O ile dobrze zrozumiałem, miało być dla \(\displaystyle{ t \in \left[ 0,1 \right]}\):

\(\displaystyle{ P(\left\{ X \right\} < t)= \sum_{n=0}^{\infty} F_X(t+n)-F_X(n)}\) ?

[mm34639]

tak