współczynnik korelacji i niezależność zmiennych losowych

[agnieszka92]

Zmienne losowe \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) mają łączny rozkład jednostajny na kole jednostkowym o środku \(\displaystyle{ (0,0).}\) O współczynniku korelacji i niezależności tych zmiennych losowych możemy stwierdzić, że
A. \(\displaystyle{ \rho(X,Y)=0}\), ale zmienne losowe są niezależne
B. \(\displaystyle{ \rho(X,Y)=0}\), więc zmienne losowe są niezależne
C. \(\displaystyle{ \rho(X,Y)\neq 0}\), więc zmienne losowe są zależne
D. \(\displaystyle{ \rho(X,Y)\neq 0}\), ale zmienne losowe są niezależne

Mógłby mi ktoś powiedzieć, co to znaczy, że mają łączny rozkład jednostajny na kole jednostkowym o środku \(\displaystyle{ (0,0)}\) ?

[szw1710]

Pole tego koła wynosi \(\displaystyle{ \pi}\). Gęstość na tym kole ma być stała. A więc gęstością tego rozkładu jest

\(\displaystyle{ f(x,y)=
\begin{cases}
\dfrac{1}{\pi},&\text{gdy }x^2+y^2\le 1\\[1ex]
0,&\text{gdy }x^2+y^2>1
\end{cases}}\)

[agnieszka92]

Kurde, mimo wszystko i tak nie wiem, jak wyznaczyć w tym przypadku wartość współczynnika korelacji...

[szw1710]

Tego nie zrobisz, albowiem rozkłady brzegowe nie wyznaczają jednoznacznie rozkładu łącznego.

[rafalpw]

Tego nie zrobisz, albowiem rozkłady brzegowe nie wyznaczają jednoznacznie rozkładu łącznego.

Myślę, że w zadaniu chodziło o to, że wektor \(\displaystyle{ \left( X,Y\right)}\) ma rozkład jednostajny na kole. W przypadku, gdy każda ze zmiennych miałaby taki rozkład, nic nie można powiedzieć ani o niezależności ani o współczynniku korelacji.

[agnieszka92]

No to jak w końcu można to zrobić, bo niestety nadal nie wiem?

[fon_nojman]

Jest błąd w odpowiedziach, prawidłowa odpowiedź to \(\displaystyle{ \rho(X,Y)=0}\) ale zmienne losowe są zależne. Prawdopodobnie to miało być w odpowiedzi A.

Jak do tego dojść?

Wyliczamy gęstości brzegowe \(\displaystyle{ f_X, f_Y}\) wektora \(\displaystyle{ (X,Y),}\) otrzymujemy i sprawdzamy czy \(\displaystyle{ f(x,y)=f_X(x)f_Y(y), x,y\in \mathbb{R}.}\) Okazuje się, że taka równość nie zachodzi.

Liczymy korelację \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y.}\) Wychodzi \(\displaystyle{ cov(X,Y)=0.}\)

[agnieszka92]

No tak miało być, tylko przez przypadek źle odpowiedzi przepisałam. ;> Nie pierwszy raz zresztą. ;> Dzięki za pomoc. ;>