rozkład zmiennej, strzał w płot

[gienia]

Oddano strzał w kierunku nieskończonego płotu, przy czym kąt strzału k pomiędzy torem kuli a prostopadłą do płotu ma rozkład jednostajny na przedziale \(\displaystyle{ (- \pi /2,\pi/2)}\). Wyznaczyć rozkład odległości X punktu trafienia od punktu odniesienia, w który trafia się, gdy k=0.

d-odległość strzelca od płotu.

\(\displaystyle{ x=dtgk}\)
\(\displaystyle{ k=arctg( \frac{x}{d})}\)

\(\displaystyle{ F_{X}(t)=P(X \le t)=P(k \le arctg( \frac{t}{d} )= \int_{-\pi/2}^{arctg( \frac{t}{d})} du=arctg( \frac{t}{d})-\pi/2}\)

Nie wiem, co robię źle licząc dystrybuantę, ale wynik jest inny.

[janusz47]

\(\displaystyle{ \eta = d\tan(k),}\)
Funkcja tangens jest monotoniczna i różnowartościowa w przedziale \(\displaystyle{ \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right),}\)
więc
\(\displaystyle{ k(\eta) = \arctan\left( \frac{\eta}{d}\right),}\)
\(\displaystyle{ |k'(\eta)|= \frac{d}{\sqrt{d^{2}+\eta^{2}}},}\)
\(\displaystyle{ f_{k}(k)= \begin{cases}\frac{1}{\pi}\ \ \mbox{dla} \ \ k\in\left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)\\
0 \ \ \mbox{dla} \ \ x\notin \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)\end{cases},}\)
Stąd
\(\displaystyle{ f(\eta) = f_{k}(k(\eta))|k'(\eta)|,}\)
\(\displaystyle{ f(\eta)= \frac{d}{\pi \sqrt{d^{2}+\eta^{2}}}.}\)

[gienia]

Dziękuję.
A gdyby nie korzystać z tego wzoru, tylko skończyć tak, jak zaczęłam? To co jest źle?

[janusz47]

\(\displaystyle{ F(\eta)= Pr(d \cdot \tan(x)\leq \eta)= Pr \left( k \leq \arctan\left (\frac{\eta}{d}\right)\right)= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\arctan\left(\frac{\eta}{d}\right)}f(u)du.}\)

Stąd
\(\displaystyle{ f(\eta) = F'(\eta) = \frac{d}{\sqrt{d^{2}+\eta^{2}}}f_{k}(k(\eta))I_{\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)} = \frac{d}{\pi \sqrt{d^{2}+\eta^{2}}}.}\)