przeliczalna suna i iloczyn zdarzeń

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Awatar użytkownika
agnieszka92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 182
Rejestracja: 18 sie 2014, o 13:46
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 13 razy

przeliczalna suna i iloczyn zdarzeń

Post autor: agnieszka92 »

1. Przeliczalna suma zdarzeń o zerowym prawdopodobieństwie
A. może nie być zdarzeniem
B. może mieć dowolne prawdopodobieństwo
C. jest zdarzeniem pewnym
D. ma dopełnienie, które jest zdarzeniem pewnym.

Myślę, że odpowiedź D. Potwierdzi ktoś moje przypuszczenia? ;>

2. Przeliczalny iloczynzdarzeń pewnych
A. może nie być zdarzeniem
B. ma dopełnienie o prawdopodobieństwie równym 1
C. ma prawdopodobieństwo równe 1
D. może miec dowolne prawdopodobieństwo

A tutaj nie wiem. Pomoże ktoś? ;>
Awatar użytkownika
kristoffwp
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 688
Rejestracja: 28 gru 2009, o 00:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bielsko - Biała
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 88 razy

przeliczalna suna i iloczyn zdarzeń

Post autor: kristoffwp »

1.

A. Przeliczalna suma zdarzeń musi być zdarzeniem, bo to wynika z definicji sigma ciała, na które składają się zdarzenia
C. Weźmy ułamki typu \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\) i losujmy jeden z nich. Sznsa na wylosowanie konkretnej liczby wynosi zero. Weźmy przeliczalny podzbiór tych liczb, np takie, które mają w mianowniku liczbę parzystą. Przeliczalna suma (w sensie zbiorów) tych ułamków nie jest oczywiście zdarzeniem pewnym
D. Weźmy dopełnienie sumy zbiorów, o których powyżej pisałem. To też nie jest zdarzenie pewne.

Ergo: Prawidłowa jest odpowiedź B, chociaż tutaj nie mam w tej chwili przykładu.

2. Zdarzenie pewne to \(\displaystyle{ \Omega}\) i tylko \(\displaystyle{ \Omega}\). Pogłówkuj sama, działasz przecież tylko na jednym zbiorze.
Awatar użytkownika
agnieszka92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 182
Rejestracja: 18 sie 2014, o 13:46
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 13 razy

przeliczalna suna i iloczyn zdarzeń

Post autor: agnieszka92 »

Wydaje mi się, że taki iloczyn zdarzeń pewnych będzie miał prawdopodobieństwo równe 1? ;>
Dzięki za pomoc. ;>
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2282
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 351 razy

przeliczalna suna i iloczyn zdarzeń

Post autor: matmatmm »

W pierwszym prawidłowa jest odpowiedź D.
kristoffwp pisze:1.
D. Weźmy dopełnienie sumy zbiorów, o których powyżej pisałem. To też nie jest zdarzenie pewne.
Jest.-- 28 sie 2014, o 16:18 --
kristoffwp pisze: C. Weźmy ułamki typu \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\) i losujmy jeden z nich. Sznsa na wylosowanie konkretnej liczby wynosi zero. Weźmy przeliczalny podzbiór tych liczb, np takie, które mają w mianowniku liczbę parzystą. Przeliczalna suma (w sensie zbiorów) tych ułamków nie jest oczywiście zdarzeniem pewnym
D. Weźmy dopełnienie sumy zbiorów, o których powyżej pisałem. To też nie jest zdarzenie pewne.
Jak się w to głębiej wczytałem to dochodzę do wniosku, że to jakieś herezje. Początkowo sądziłem, że przestrzenią jest \(\displaystyle{ [0,1]}\) z prawdopodobieństwem geometrycznym, ale chyba miałeś coś innego na myśli?
Awatar użytkownika
kristoffwp
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 688
Rejestracja: 28 gru 2009, o 00:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bielsko - Biała
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 88 razy

przeliczalna suna i iloczyn zdarzeń

Post autor: kristoffwp »

\(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\). Przepraszam za skróty myślowe. Czyli \(\displaystyle{ \Omega=\{\frac{1}{n}:n\in\mathbb{N}\}}\). Losujemy liczbę.-- 28 sie 2014, o 17:49 --W pierwszym oczywiście D to bzdura, bo przeliczalna suma zbiorów miary zero nie jest bynjmniej zbiorem pustym
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

przeliczalna suna i iloczyn zdarzeń

Post autor: a4karo »

kristoffwp pisze:\(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\). Przepraszam za skróty myślowe. Czyli \(\displaystyle{ \Omega=\{\frac{1}{n}:n\in\mathbb{N}\}}\). Losujemy liczbę.

-- 28 sie 2014, o 17:49 --

W pierwszym oczywiście D to bzdura, bo przeliczalna suma zbiorów miary zero nie jest bynjmniej zbiorem pustym
Określiłes \(\displaystyle{ \Omega}\) ale nie podałęś jak liczysz prawdopodobieństwa zdarzen...
2. Zdarzenie pewne to Omega i tylko Omega. Pogłówkuj sama, działasz przecież tylko na jednym zbiorze.
Słyszałeś o zbiorach miary zero?
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2282
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 351 razy

przeliczalna suna i iloczyn zdarzeń

Post autor: matmatmm »

kristoffwp, zdarzenie pewne to zdarzenie miary 1, niekoniecznie całe \(\displaystyle{ \Omega}\).
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

przeliczalna suna i iloczyn zdarzeń

Post autor: a4karo »

OK. prawidłowe odpowiedzi to w pierwszym D, w drugim C

Zauważ, że drugie zadanie wynika z pierwszego przez prawa de Morgana
Awatar użytkownika
kristoffwp
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 688
Rejestracja: 28 gru 2009, o 00:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bielsko - Biała
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 88 razy

przeliczalna suna i iloczyn zdarzeń

Post autor: kristoffwp »

Przeliczalna suma zbiorów miary zero musi mieć miarę zero? Weźmy mój przykład. Ze zbioru \(\displaystyle{ \{ \frac{1}{n}:n\in\mathbb{N}\}}\) losujemy jedną liczbę. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania ułamka \(\displaystyle{ \frac{1}{7}}\)? Mam nadzieję, że wychodzi wam zero. Teraz: Czym jest suma: \(\displaystyle{ \bigcup_{k=1}^{\infty} \{\frac{1}{k}\}}\)? To przeliczalna suma zbiorówm miary zero, a daje całą przestrzeń zdarzeń. Wnioski?-- 28 sie 2014, o 20:00 --Powtarzam: W pierwszym ma być B, a w drugim C. I powtarzam: Zdarzenie pewne to tylko \(\displaystyle{ \Omega}\), bo inna definicja kłóci się zasadniczo ze zdrowym rozsądkiem.
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2282
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 351 razy

przeliczalna suna i iloczyn zdarzeń

Post autor: matmatmm »

kristoffwp pisze:Przeliczalna suma zbiorów miary zero musi mieć miarę zero? Weźmy mój przykład. Ze zbioru \(\displaystyle{ \{ \frac{1}{n}:n\in\mathbb{N}\}}\) losujemy jedną liczbę. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania ułamka \(\displaystyle{ \frac{1}{7}}\)? Mam nadzieję, że wychodzi wam zero. Teraz: Czym jest suma: \(\displaystyle{ \bigcup_{k=1}^{\infty} \{\frac{1}{k}\}}\)? To przeliczalna suma zbiorówm miary zero, a daje całą przestrzeń zdarzeń. Wnioski?
Powiedz, jak określasz funkcję prawdopodobieństwa, bo bez tego nie można mówić w ogóle o prawdopodobieństwie.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

przeliczalna suna i iloczyn zdarzeń

Post autor: a4karo »

Zdarzenie pewne to tylko Omega, bo inna definicja kłóci się zasadniczo ze zdrowym rozsądkiem.
Błągam, nie kompromituj się: jakie jest prawdopodobienstwo nietrafienia w punkt \(\displaystyle{ (1/2,1/2)}\) gdy wybierasz losowo punkt z kwadratu jednostkowego?-- 28 sie 2014, o 21:00 --@kristoffwp

OK, juz wiem o co chodzi: otóż (do Twojej wiadomości) w prawdopodobieństwie zdarzeniem pewnym nazywamy każde zdarzenie, którego prawdopodobieństwo wynosi 1. To się może kłócić z intuicją, która mówi, że jak coś jest pewne, to na pewno zajdzie, ale tak już się w świecie matematycznym przyjęło.
Są zatem zdarzenia pewne w sensie probabilistycznym, które nie są pewne wg logiki (bo przecież w środek kwadratu można trafić, nieprawdaż?
Alef
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 394
Rejestracja: 27 sie 2012, o 10:44
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 95 razy

przeliczalna suna i iloczyn zdarzeń

Post autor: Alef »

\(\displaystyle{ \Omega=[0,1]}\)
\(\displaystyle{ P=\mu}\) - miara Lebesque'a na \(\displaystyle{ \Omega}\)

\(\displaystyle{ P(\Omega)=\mu(\Omega)=\mu([0,1])=1-0=1}\)

Niech teraz

\(\displaystyle{ A=[0,1] \cap (\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q})}\)

\(\displaystyle{ \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}}\) - zbiór liczb niewymiernych

\(\displaystyle{ P(A)=1}\), bo miara Lebesque'a zbioru liczb wymiernych na odcinku \(\displaystyle{ [0,1]}\) jest równa 0, jako suma przeliczalnie wielu zbiorów miary Lebesque'a zero.

Oznacza to, że \(\displaystyle{ P(A)=1}\) i \(\displaystyle{ P(\Omega)=1}\), ale \(\displaystyle{ A \subset [0,1]}\). :)

Prawdopodobieństwo, że z odcinka \(\displaystyle{ [0,1]=\Omega}\) wylosujemy liczbę rzeczywistą jest takie samo jak prawdopodobieństwo, że z ów odcinka wylosujemy liczbę niewymierną - równe 1, a więc pewne.
Awatar użytkownika
kristoffwp
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 688
Rejestracja: 28 gru 2009, o 00:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bielsko - Biała
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 88 razy

przeliczalna suna i iloczyn zdarzeń

Post autor: kristoffwp »

Zdarzenie pewne to zdarzenie, które musi zajść.
Przemyślałem sobie mój przykład, może nie jest szczególnie trafiony, oczywiście nie mogę intuicyjnie liczyć prawdopodobieństwa dzieląc moce zbiorów. Jeszcze nad tym się zastanowię, ale co do zdarzenia pewnego, to już się może nie kłóćcie, ok?

-- 29 sie 2014, o 05:54 --

Myślę, że możecie mieć rację w kwestii sumy przeliczalnie wielu zbiorów miary zero. Ale to jeszcze przemyślę po południu. Co do zdarzenia pewnego, to oczywiście wszystko jest kwestią definicji, ale ta na Wikipedii jest zgodna ze zdrowym rozsądkiem czyli głównie z tym, co znaczy słowo "pewne".-- 29 sie 2014, o 06:03 --Fakt, że suma przeliczalnie wielu zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym raczej sugeruje, że mnie intuicja zawiodła w kwestii zadania 1. Ale pomyślę jeszcze.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

przeliczalna suna i iloczyn zdarzeń

Post autor: a4karo »

Ok, faktycznie, na Wiki podane jest taka własnie definicje zdarzenia pewnego. Rozumienie tego pojęcia jest jednak różne: jak łatwo stwierdzisz, przy definicji Wiki żadna z odpowiedzi do zad. 1 nie jest poprawna.
Awatar użytkownika
kristoffwp
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 688
Rejestracja: 28 gru 2009, o 00:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bielsko - Biała
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 88 razy

przeliczalna suna i iloczyn zdarzeń

Post autor: kristoffwp »

Trudno nazwać inne zdarzenie pewnym, jeżeli z definicji każde inne zdarzenie, oprócz \(\displaystyle{ \Omega}\) może nie zajść, czyli nie jest pewne
ODPOWIEDZ