rzut kostką i monetami

[agnieszka92]

Rzucamy kostką do gry, a następnie tyloma monetami o nominale 1 złoty, ile wskazała kość. Zabieram jako wygraną monety, które wypadły orłem do góry, a jej wartość oczekiwana wygranej wynosi
A. 10,50
B. 3,5
C. 1,75
D. 3

Może mi ktoś podpowiedzieć, jak się w ogole za to zabrać? Bo nie bardzo mam pomysł...

[loitzl9006]

na początek: masz tylko wybrać odpowiedź, czy przedstawić pełne rozwiązanie ? Bo dużo takiego uciążliwego liczenia jest.

[agnieszka92]

No nie sprawdzają obliczeń, ale i tak bym chciała wiedzieć, jak to można zrobić. ;>

[loitzl9006]

wartość oczekiwana - czyli ile przeciętnie możesz wygrać
max. możliwa wygrana w tej grze to 6 zł
więc odp. A 10.50 zł odpada
można policzyć pomocniczo wartość oczekiwaną ilości oczek na kostce (czyli ile przeciętnie możesz wyrzucić oczek na kostce) - po prostu średnia arytmetyczna oczek na kostce:
\(\displaystyle{ \frac{1+2+3+4+5+6}6=3.5}\)
liczyliśmy to po to, aby się dowiedzieć iloma monetami przeciętnie (średnio) rzucamy w tej grze.
Bo gdyby nie było rzutu monetą tylko wygrana była równa ilości oczek na kostce to prawidłową odp by była odp B 3.5 zł. Ale tutaj jeszcze musi być dodatkowy warunek (z monetą) więc musi być mniej niż 3.5 zł więc odp B odpada
Może dziwnie to zabrzmi, ale z tego że średnio rzucamy \(\displaystyle{ 3.5}\) oczka na kostce wynika, że w tej grze rzucamy przeciętnie \(\displaystyle{ 3.5}\) monetami 1 zł.
Jak rzucasz monetą to masz szansę \(\displaystyle{ \frac12}\) że wyrzucisz orła i tyle samo że reszkę
więc w \(\displaystyle{ \frac12\cdot3.5=1.75}\) przypadków otrzymasz orła, więc przeciętnie wygrasz \(\displaystyle{ 1.75}\) zł więc nie ma szans aby przeciętnie wygrać 3 zł w tej grze odp D odpada
Zostaje odp. C

[chris_f]

Nie pochwalam metody eliminacji odpowiedzi, zwłaszcza popartej takim niezbyt precyzyjnym rozumowaniem.
Jeżeli chcesz wiedzieć jak to policzyć - to mniej więcej tak.
Musisz rozpisać to jako sześć niezależnych zdarzeń:
\(\displaystyle{ A_i}\) - na kostce wypada \(\displaystyle{ i}\) oczek. Oczywiście prawdopodobieństwo każdego z tych zdarzeń wynosi \(\displaystyle{ P(A_i)=\frac16}\).
Dla każdego zdarzenia \(\displaystyle{ A_i}\) trzeba obliczyć wartość oczekiwaną odpowiedniej zmiennej losowej (liczby wypadających orłów).
Np. dla \(\displaystyle{ i=2}\) ta zmienna ma rozkład
\(\displaystyle{ \begin{array}{|c|c|c|c|}\hline
x_i&0&1&2\\ \hline
p_i&\frac14&\frac12&\frac14\\ \hline\end{array}}\)
i dla niej wartość oczekiwana wynosi \(\displaystyle{ E_2=0\cdot\frac14+1\cdot\frac12+2\cdot\frac14=1}\)
Podobnie dla \(\displaystyle{ i=3}\)
\(\displaystyle{ \begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline
x_i&0&1&2&3\\ \hline
p_i&\frac18&\frac38&\frac38&\frac18\\ \hline\end{array}}\)
Wtedy wartość oczekiwana \(\displaystyle{ E_3=0\cdot\frac18+1\cdot\frac38+2\cdot\frac38+3\cdot\frac18=
\frac{10}{8}}\)
To samo robisz dla \(\displaystyle{ i=1,4,5,6}\), dodajesz te wartości oczekiwane i mnożysz przez jedną szóstą.

[agnieszka92]

No to jak widać trochę liczenia jest. Ale przynajmniej mi to rozjaśniłeś i wiem juz jak postępować w takich przypadkach. ;> Dziękuję za pomoc. ;>