Znaleźć rozkład zmiennej losowej

[kryg196]

Witam, kompletnie nie wiem jak zabrać się za to zadanie:

Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) przyjmuje wartości całkowite, nieujemne z prawdopodobieństwami opisanymi wzorem \(\displaystyle{ P \left( X=t \right) =\frac{2^t}{3^{t+1}}}\) dla \(\displaystyle{ t \in \mathbb{N}}\). Znaleźć rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ \sin \left( \frac{\pi X}{3} \right)}\). Z góry dziękuję za pomoc!

[pyzol]

W zasadzie nie jest to aż takie trudne na jakie wygląda.
Najpierw wypadałoby napisać jakie wartości może przyjmować.
N więc, najpierw mamy
\(\displaystyle{ P(Y=0)=P\left( \sin\left(\frac{\pi X}{3}\right)=0 \right) =P\left( X\in \left\{0,3,6,9... \right\} \right)=\sum_{i=0}^n \frac{2^{3i}}{3^{3i+1}}}\)

Pozostałe wartości musisz już sam poszukać. Nie jest ich dużo, jeszcze cztery.

[kryg196]

czyli

\(\displaystyle{ P(Y=1)=P\left( \sin\left(\frac{\pi X}{3}\right)=1 \right)=P\left( X\in \left\{\frac{3}{2},\frac{15}{2},\frac{27}{2},\frac{39}{2}... \right\} \right)=}\) i jak mam to zapisać? \(\displaystyle{ (\frac{12n+3}{2}, n=0,1,2,...)}\)
\(\displaystyle{ P(Y=-1)=P\left( \sin\left(\frac{\pi X}{3}\right)=-1 \right)=P\left( X\in \left\{\frac{9}{2},\frac{21}{2},\frac{33}{2},\frac{45}{2}... \right\} \right)=}\) to samo tutaj? \(\displaystyle{ (\frac{12n+9}{2}, n=0,1,2,...)}\)

i jakie jeszcze inne wartości? Nie ogarniam tego zadania

[pyzol]

Dla jakich \(\displaystyle{ X}\), będzie zachodziła własność \(\displaystyle{ \sin\frac{\pi X}{3}=1}\)?
Masz podane, że \(\displaystyle{ X}\) przyjmuje wartości całkowite, a Ty podajesz całkiem inny zbiór.
Rozwiąż najpierw takie równanie.

[kryg196]

\(\displaystyle{ \sin(\frac{\pi X}{3})=1}\)
\(\displaystyle{ \sin(\frac{\pi X}{3})=\sin(\frac{\pi}{2}+2k \pi)}\)
\(\displaystyle{ \frac{\pi X}{3}=\frac{\pi}{2}+2k \pi}\)
\(\displaystyle{ X=\frac{3}{2}+6k, k\in\mathbb{Z}}\)

i co dalej?

[pyzol]

No to raczej takiej wartości nie przyjmie, bo \(\displaystyle{ X}\) ma być całkowite.
Dla \(\displaystyle{ X=1}\) masz \(\displaystyle{ \sin\frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\). I tę wartość przyjmie tylko jeszcze trzeba zobaczyć, dla jakich \(\displaystyle{ X}\).

[kryg196]

nie rozumiem, skad to sie bierze?

[pyzol]

\(\displaystyle{ X}\) przyjmuje wartości \(\displaystyle{ 0,1,2,3...}\)
Więc \(\displaystyle{ Y=\sin \frac{\pi X}{3}}\), może przyjmować wartości:
\(\displaystyle{ \sin 0,\sin \frac{\pi}{3}, \sin\frac{2\pi}{3}..}\)

[kryg196]

Rozpisałem to sobie i mam:

\(\displaystyle{ X=0 \longrightarrow 0}\)
\(\displaystyle{ X=1 \longrightarrow \frac {\sqrt3}{2}}\)
\(\displaystyle{ X=2 \longrightarrow \frac {\sqrt3}{2}}\)
\(\displaystyle{ X=3 \longrightarrow 0}\)
\(\displaystyle{ X=4 \longrightarrow -\frac {\sqrt3}{2}}\)
\(\displaystyle{ X=5 \longrightarrow -\frac {\sqrt3}{2}}\)
\(\displaystyle{ X=6 \longrightarrow 0}\)
\(\displaystyle{ X=7 \longrightarrow \frac {\sqrt3}{2}}\)
\(\displaystyle{ X=8 \longrightarrow \frac {\sqrt3}{2}}\)
\(\displaystyle{ X=9 \longrightarrow 0}\)

\(\displaystyle{ P \left( Y=0 \right)}\) tak jak wczesniej napisales
\(\displaystyle{ P \left( Y=\frac{\sqrt3}{2} \right) =P \left( \sin \left( \frac{\pi X}{3} \right) =\frac{\sqrt3}{2} \right) = P \left( X \in \lbrace 1,2,7,8,13,14,... \rbrace \right) =?}\)
\(\displaystyle{ P \left( Y=-\frac{\sqrt3}{2} \right) =P \left( \sin \left( \frac{\pi X}{3} \right) =-\frac{\sqrt3}{2} \right) = P \left( X \in \lbrace 4,5,10,11,16,17,... \rbrace \right) =?}\)

nie wiem co dalej...nie ma juz innych wartosci...

[pyzol]

Masz podane, że:
\(\displaystyle{ P \left( X=t \right) =\frac{2^t}{3^{t+1}}}\)
więc
\(\displaystyle{ P \left( X \in \lbrace 1,2,7,8,13,14,... \rbrace \right) =P(X=1)+P(X=7)+P(X=13)+...+P(X=2)+P(X=8)+...=}\)
Teraz podstaw i otrzymasz dwa szeregi geometryczne.