Zmienna losowa X ma standardowy rozkład normalny a zmienna Y jest zdefiniowana jako:
\(\displaystyle{ Y= \begin{cases} -X,|X| \le c \\ X, |X|>c \end{cases}}\)
Wyznaczyć rozkład Y i pokazać, że \(\displaystyle{ cov(X,Y)=0}\) dla \(\displaystyle{ c>0}\). Co można powiedzieć o niezależności X i Y?
Jak się za to zabrać?
Zm losowa X o rozkładzie normalnym. Wyznacz rozkład Y.
-
- Użytkownik
- Posty: 1567
- Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 398 razy
Zm losowa X o rozkładzie normalnym. Wyznacz rozkład Y.
Ponieważ rozkład standardowy normalny jest symetryczny względem zera, to \(\displaystyle{ Y}\) też ma rozkład standardowy normalny.
Zmienne nie są niezależne, bo np.
\(\displaystyle{ P(X\in (0,c), Y\in (0,c)) = P(X\in (0,c)) \neq P(X\in (0,c))P(Y\in (0,c)) = P(X\in (0,c))P(X\in (0,c))}\)
Kowariancję trzeba już rozpisać.
Zmienne nie są niezależne, bo np.
\(\displaystyle{ P(X\in (0,c), Y\in (0,c)) = P(X\in (0,c)) \neq P(X\in (0,c))P(Y\in (0,c)) = P(X\in (0,c))P(X\in (0,c))}\)
Kowariancję trzeba już rozpisać.
-
- Użytkownik
- Posty: 721
- Rejestracja: 13 lis 2011, o 14:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kielce
- Podziękował: 8 razy
Zm losowa X o rozkładzie normalnym. Wyznacz rozkład Y.
\(\displaystyle{ P(X\in (0,c), Y\in (0,c)) = P(X\in (0,c)) \neq P(X\in (0,c))P(Y\in (0,c)) = P(X\in (0,c))P(X\in (0,c))}\) - czy w tym zapisie jest wszystko dobrze?
Kowariancję rozpisałem tak:
\(\displaystyle{ Cov(X,Y)=E(X,Y)-EXEY}\)
\(\displaystyle{ EX=0 \Rightarrow EY=0}\)
\(\displaystyle{ E(XY)=E(XY||X|<C)P(|X|<C)+E(XY||X|>C)P(|X|>C)=E(-X^{2})P(|X|<C)+E(X^{2})P(|X|>C)}\)
Teraz nie wiem co dalej z tym zrobić. Wiem, że \(\displaystyle{ E(X^2)=1}\) co dalej ?
Kowariancję rozpisałem tak:
\(\displaystyle{ Cov(X,Y)=E(X,Y)-EXEY}\)
\(\displaystyle{ EX=0 \Rightarrow EY=0}\)
\(\displaystyle{ E(XY)=E(XY||X|<C)P(|X|<C)+E(XY||X|>C)P(|X|>C)=E(-X^{2})P(|X|<C)+E(X^{2})P(|X|>C)}\)
Teraz nie wiem co dalej z tym zrobić. Wiem, że \(\displaystyle{ E(X^2)=1}\) co dalej ?
-
- Użytkownik
- Posty: 7330
- Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 961 razy
Zm losowa X o rozkładzie normalnym. Wyznacz rozkład Y.
Czy fakt \(\displaystyle{ c>0}\) nie powoduje utrudnień