Zm losowa X o rozkładzie normalnym. Wyznacz rozkład Y.

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
laser15
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 721
Rejestracja: 13 lis 2011, o 14:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kielce
Podziękował: 8 razy

Zm losowa X o rozkładzie normalnym. Wyznacz rozkład Y.

Post autor: laser15 »

Zmienna losowa X ma standardowy rozkład normalny a zmienna Y jest zdefiniowana jako:

\(\displaystyle{ Y= \begin{cases} -X,|X| \le c \\ X, |X|>c \end{cases}}\)

Wyznaczyć rozkład Y i pokazać, że \(\displaystyle{ cov(X,Y)=0}\) dla \(\displaystyle{ c>0}\). Co można powiedzieć o niezależności X i Y?


Jak się za to zabrać?
Adifek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1567
Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 398 razy

Zm losowa X o rozkładzie normalnym. Wyznacz rozkład Y.

Post autor: Adifek »

Ponieważ rozkład standardowy normalny jest symetryczny względem zera, to \(\displaystyle{ Y}\) też ma rozkład standardowy normalny.

Zmienne nie są niezależne, bo np.

\(\displaystyle{ P(X\in (0,c), Y\in (0,c)) = P(X\in (0,c)) \neq P(X\in (0,c))P(Y\in (0,c)) = P(X\in (0,c))P(X\in (0,c))}\)

Kowariancję trzeba już rozpisać.
laser15
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 721
Rejestracja: 13 lis 2011, o 14:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kielce
Podziękował: 8 razy

Zm losowa X o rozkładzie normalnym. Wyznacz rozkład Y.

Post autor: laser15 »

Jak rozpisać tą kowariancję ?
Adifek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1567
Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 398 razy

Zm losowa X o rozkładzie normalnym. Wyznacz rozkład Y.

Post autor: Adifek »

Np. z definicji.
laser15
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 721
Rejestracja: 13 lis 2011, o 14:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kielce
Podziękował: 8 razy

Zm losowa X o rozkładzie normalnym. Wyznacz rozkład Y.

Post autor: laser15 »

\(\displaystyle{ P(X\in (0,c), Y\in (0,c)) = P(X\in (0,c)) \neq P(X\in (0,c))P(Y\in (0,c)) = P(X\in (0,c))P(X\in (0,c))}\) - czy w tym zapisie jest wszystko dobrze?

Kowariancję rozpisałem tak:

\(\displaystyle{ Cov(X,Y)=E(X,Y)-EXEY}\)

\(\displaystyle{ EX=0 \Rightarrow EY=0}\)

\(\displaystyle{ E(XY)=E(XY||X|<C)P(|X|<C)+E(XY||X|>C)P(|X|>C)=E(-X^{2})P(|X|<C)+E(X^{2})P(|X|>C)}\)

Teraz nie wiem co dalej z tym zrobić. Wiem, że \(\displaystyle{ E(X^2)=1}\) co dalej ?
Kartezjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7330
Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 961 razy

Zm losowa X o rozkładzie normalnym. Wyznacz rozkład Y.

Post autor: Kartezjusz »

Czy fakt \(\displaystyle{ c>0}\) nie powoduje utrudnień
laser15
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 721
Rejestracja: 13 lis 2011, o 14:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kielce
Podziękował: 8 razy

Zm losowa X o rozkładzie normalnym. Wyznacz rozkład Y.

Post autor: laser15 »

Więc jak to zrobić ?
ODPOWIEDZ