Tw. z zmiennymi losowymi X,Y i funkcjami borelowskimi

[laser15]

Muszę udowodnić takie twierdzenie:
Jeżeli zmienne losowe \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) są niezależne a \(\displaystyle{ f}\) i \(\displaystyle{ g}\) są funkcjami borelowsko mierzalnymi, to zmienne losowe \(\displaystyle{ f(X)}\) i \(\displaystyle{ g(Y)}\) są niezależne.

[DubKidz]

Też mam problem z tym zadaniem, wiem że to podstawowe zadanie tego typu, ale czy ktoś mógłby wytłumaczyć po kolei z czego korzystać? Dzięki z góry

[Alef]

\(\displaystyle{ A,B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})}\)

\(\displaystyle{ P(f(X)\in A,g(Y)\in B)=P(X\in f^{-1}(A),Y\in g^{-1}(B))}\)

\(\displaystyle{ =P(X\in f^{-1}(A))P(Y\in g^{-1}(B))=P(f(X)\in A)P(g(Y)\in B)}\)