zastosowanie centralnego twierdzenia granicznego

[oldj]

Przy pomiarze boku prostokąta o długości \(\displaystyle{ m}\) otrzymujemy wynik o rozkładzie normalnym \(\displaystyle{ N(m,0.01m^2)}\). Zakładamy, że kolejne pomiary dają wyniki niezależne. Niech boki prostokąta wynoszą odpowiednio \(\displaystyle{ m_{1}, m_{2}}\). Interesuje nas oszacowanie pola tego prostokąta. Mierzymy oba boki 100 razy i otrzymujemy wyniki \(\displaystyle{ (X_{1}Y_{1}),... ,(X_{100}Y_{100})}\). Oszacować prawdopodobieństwo, że średnia arytmetyczna ze 100 pomiarów różni się od prawdziwej wartości \(\displaystyle{ m_{1}m_{2}}\) co najwyżej o \(\displaystyle{ 0.01m_{1}m_{2}}\).

To tak: wiem, że potrzebuję wartości oczekiwanej \(\displaystyle{ X_{i}Y_{i}}\), jest dość łatwa, wynosi \(\displaystyle{ m_{1}m_{2}}\). Z wariancją było gorzej, ale z moich obliczeń:
\(\displaystyle{ Var[X_{1}Y_{2}] = E[(X_{1}Y_{2})^2] - (E[X_{1}Y_{2}])^2 = E[X_{1}^2]E[Y_{1}^2] - (E[X_{1}Y_{2}])^2 = \newline (m_{1}^2+\frac{0.1m_{1}}{\sqrt{2\pi}})(m_{2}^2+\frac{0.1m_{2}}{\sqrt{2\pi}}) - (m_{1}m_{2})^2 = \frac{0.1m_{1}m_{2}}{\sqrt{2\pi}}(m_{1}+m_{2}+\frac{0.1}{\sqrt{2\pi}})}\)

Po pierwsze, czy wynik wariancji jest dobry? Biorąc pod uwagę, że jest to kwadrat odchylenia, odchylenie byłoby strasznym pierwiastkiem. No...i jak iść dalej na CTG?

[Everard]

Zmienne losowe \(\displaystyle{ X_iY_i}\) są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie (bo wszystkie \(\displaystyle{ X_i, Y_i}\) są niezależne, \(\displaystyle{ X_i}\) mają jednakowy rozkład i \(\displaystyle{ Y_i}\) mają jednakowy rozkład). Niech \(\displaystyle{ XY=\sum_{i=1}^{100} X_i Y_i.}\) Zmienna losowa
\(\displaystyle{ \frac{XY-100\cdot E(X_1Y_1)}{Var(X_1Y_1)\cdot 10}}\)
ma (w przybliżeniu) rozkład \(\displaystyle{ N(0,1)}\). Interesuje nas
\(\displaystyle{ P(|XY-m_1m_2|\le 0.01 m_1m_2)}\).
Przekształć to żeby ta zmienna losowa miała postac jak powyżej i skorzystaj z własności rozkładu \(\displaystyle{ N(0,1)}\).

[oldj]

W mianowniku nie powinien być pierwiastek z wariancji?

A nie interesuje nas przypadkiem \(\displaystyle{ P(| \frac{XY}{100}-m_1m_2}| \le 0.01 m_1m_2)}\) ?