Funkcja gestosci rozkładu brzegowego zmiennej losowej

[laser15]

Niech (X, Y ) bedzie dwuwymiarowa zmienna losowa o funkcji gestosci
\(\displaystyle{ f(x,y)= \begin{cases} \frac{ \pi }{2} , dla y>0,x^2+y^2<1 \\ 0, poza \end{cases}}\)

niech \(\displaystyle{ Z= \frac{X}{X^2+Y^2}}\) oraz \(\displaystyle{ V= \sqrt{X^2+Y^2}}\)

Wyznacz rozkład brzegowy zmiennej V.

Może ktoś mi pomóc ? Nie wiem jak się zabrać za ten rozkład w tym przypadku .

[Jacek_Karwatka]

Można na to rozwiązać geometrycznie:
Zmienna (x,y) jest określona na półokręgu o promieniu 1.
V to inaczej promień R
rozkład brzegowy V (r) to całka z rozkładu po zadanym półokręgu.
dla \(\displaystyle{ v \ge 1}\) lub \(\displaystyle{ v \le 0}\) \(\displaystyle{ P(v)=0}\)
dla\(\displaystyle{ 0<v<1}\) mamy \(\displaystyle{ P(v)= \frac{ \pi }{2} \frac{2 \pi r}{2}}\)
ps ten rozkład nie całkuje się do 1
zapewne jest błąd w treści zadania (powinno być \(\displaystyle{ \frac{2}{ \pi }}\)) wtedy
dla\(\displaystyle{ 0<v<1}\) mamy \(\displaystyle{ P(v)= \frac{2}{ \pi } \frac{2 \pi r}{2}=2r}\)

[laser15]

A czy mógłbyś powiedzieć jak rozwiązać takie zadanie:

X i Y mają zadaną gęstość:

\(\displaystyle{ f(x,y)= \begin{cases} \frac{ 4}{\pi } , dla y>0,x>0,x^2+y^2<1 \\ 0, poza \end{cases}}\)

Niech \(\displaystyle{ Z= \frac{X^2}{X^2+Y^2}}\) Muszę wyznaczyć funkcję gęstości Z. Nie wiem po jakim obszarze mam to całkować.