Prawdopodobieństwo uzyskania danej sumy przy rzutach kostką

[Logan123]

Przypomniał mi się problem, nad którym zastanawiałem się w szkole licząc zadania z serii "Jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania sumy 10 przy 2 rzutach kostką?". Od razu nasunęło mi się pytanie:
"Jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania sumy k przy n rzutach kostką?". Podstawiłem jakieś dane (chyba k = 200, n = 100) i zadałem pytanie nauczycielce. Bez dłuższego zastanowienia otrzymałem odpowiedź "nie da się policzyć", więc dałem już jej spokój, trochę sam pomyślałem i zapomniałem o tym.
Ma ktoś może pomysł na rozwiązanie takiego zadanka (może być na przedstawionych danych najpierw, jeśli to ułatwi).

[a4karo]

Jak pomnożysz przez siebie wielomiany
\(\displaystyle{ (x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)(x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)}\), to współczynnik przy potędze \(\displaystyle{ k\ (k=2,\dots,12}\) oznacza ile razy pojawi się suma \(\displaystyle{ k}\) w dwóch rzutach.
To samo możesz zrobić dla 100 rzutów.

Z drugiej strony możesz ten współczynnik policzyć różniczkując iloczyn stosowna ilość razy i biorąc wartość pochodnej w 0. Powinien wyjść całkiem przyzwoity wzorek.

[Logan123]

Udało mi się dojść do bardzo brzydkiego wyniku (dużo razy sigma).

Jak pomnożysz przez siebie wielomiany
\(\displaystyle{ (x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)(x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)}\), to współczynnik przy potędze \(\displaystyle{ k\ (k=2,\dots,12}\) oznacza ile razy pojawi się suma \(\displaystyle{ k}\) w dwóch rzutach.
To samo możesz zrobić dla 100 rzutów.

Z drugiej strony możesz ten współczynnik policzyć różniczkując iloczyn stosowna ilość razy i biorąc wartość pochodnej w 0. Powinien wyjść całkiem przyzwoity wzorek.

Bardzo mi się podoba pomysł z wielomianami - takie to oczywiste, że aż mi wstyd, że na to nie wpadłem.
Nie potrafię jednak obliczyć sprawnie pochodnej np. dwusetnego stopnia. Mógłbyś mnie naprowadzić poprzez podanie jakiejś ładnej własności? Wieczorem jeszcze będę kombinował samodzielnie, ale dzięki za wskazówki

[Hydra147]

Wielomiany faktycznie są fajnym modelem ale co dalej? Policzenie tej pochodnej nie jest łatwe (chyba, że czegoś nie widzę).

[Logan123]

Nadal nie potrafię tego rozwiązać (bez komputera oczywiście). Ma ktoś jakiś pomysł?

[a4karo]

Wzór Leibniza może pomóc (choć prosto na pewno nie bedzie)

[Logan123]

Udało mi się dojść do czegoś, ale nie korzystałem z pochodnych. Mianowicie:
Prawdopodobieństwo uzyskania sumy x przy k rzutach kostką wynosi:
\(\displaystyle{ \frac{\sum_{i=0}^{[ \frac{6k-x}{6} ]} ((-1)^i {k \choose i} a_{x-k+6i}) }{6^{k}}}\)

gdzie:

\(\displaystyle{ a_{n} = 0}\) dla n>5k

\(\displaystyle{ a_{n} = 1}\) dla n=5k

\(\displaystyle{ a_{n} = \sum_{i=1}^{k} ( (-1)^{i+1} a _{n+i} {k \choose i})}\) dla \(\displaystyle{ k \le n < 5k}\)

Mam nadzieję, że znajdzie się ktoś kto przez to przebrnął . No nie jest to zbyt zachęcająca forma, ale wydaje mi się, że poprawna. Kiedyś czytałem, że ciągi rekurencyjne można jakoś sprowadzać do postaci jawnej, ale czy tutaj to zadziała? Brnąć w to dalej czy szukać innego sposobu? A może nie istnieje ładne rozwiązanie takiego problemu?

-- 18 sie 2014, o 21:33 --

# Odświeżam-- 18 sie 2014, o 21:37 --Odświeżam