Warunkowa wartość oczekiwana elementarnie..

[ahk1986]

Weźmy \(\displaystyle{ \Omega=[0,1]}\) z \(\displaystyle{ \sigma}\) ciałem borelowskim i miarą Lebesgua P na odcinku \(\displaystyle{ [0, 1]}\). Znajdź \(\displaystyle{ E[X|Y]}\) dla:
1. \(\displaystyle{ X(\omega) = 2\omega}\), \(\displaystyle{ Y(\omega) =2}\)
2. \(\displaystyle{ X(\omega) =2\omega}\), \(\displaystyle{ Y(\omega) =\omega^2}\)
3. \(\displaystyle{ X(\omega) =2\omega-1+|2\omega-1|}\), \(\displaystyle{ Y(\omega) =1-|2\omega-1|}\)

Jest to z książki Capińskiego "Probablity through problems". Niestety, pomimo podpowiedzi nie potrafię sobie z tym poradzić. Może ktoś to dokładnie rozpisać i wytłumaczyć ? Bardzo by mi to pomogło w zrozumieniu liczenia elementarnych wartości oczekiwanych...

[Kartezjusz]

1.\(\displaystyle{ EX( 2 \omega | \omega )=2 EX( \omega | \omega ) = 2 \omega}\)

[ahk1986]

Bij mnie zabij, nie wiem skąd się to wzięło. A jak z pozostałymi przypadkami ?

[PiotrowskiW]

To co napisał Kartezjusz, wynika z elementarnych własności warunkowej wartości oczekiwanej.
Nawet z definicji i własności całki Lebesgue'a jakby się ktos uparł.

[ahk1986]

Bardzo dziękuję wszystkim za pomoc.

-- 15 sie 2014, o 18:51 --

Kilka podobnych zadań, tym razem ze Sztencla...

\(\displaystyle{ }\)

Niech \(\displaystyle{ \Omega=[0,1] \times[0,1]}\), P - miara Lebesgua, znaleźć \(\displaystyle{ E[f|\mathcal{F}]}\) jeśłi:

1. \(\displaystyle{ f(x,y)=x}\), \(\displaystyle{ \mathcal{F}}\) jest generowana przez \(\displaystyle{ y}\)
2. \(\displaystyle{ f(x,y)=x-y}\), \(\displaystyle{ \mathcal{F}}\) jest generowana przez \(\displaystyle{ x+y}\)
3. \(\displaystyle{ f(x,y)=x^2y}\), \(\displaystyle{ \mathcal{F}}\) jest generowana przez \(\displaystyle{ x+y}\)

Podane są tylko odpowiedzi liczbowe co niewiele mi daje. Wiem że dla Was może być to elementarne ale dla mnie nie jest. Prosiłbym o wyjaśnienie tego zagadnienia krok po kroku bym mógł to wreszcie zrozumieć. Z książki niewiele niestety mogę wydedukować. Definicja

\(\displaystyle{ \sigma(X)=\lbrace X^{-1}(B):B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^n})}\)

niewiele mi daje... Czym jest \(\displaystyle{ \sigma(x)}\) ? Tam będą wszystkie zbiory borelowskie na [0,1] ?-- 16 sie 2014, o 11:34 --Czy można prosić o przeniesienie do "Analiza wyższa" ? W zasadzie jest to pytanie z teorii miary a skoro tutaj nikt nie umie mi pomóc to może w tamtym dziale się uda...

[janusz47]

1.
Zauważmy, że zmienna losowa Y jest stała. Stąd wynika, że \(\displaystyle{ E(X|Y)}\) jako zmienna losowa ze względu na \(\displaystyle{ \sigma}\) ciało \(\displaystyle{ F_{Y}=\left[ \emptyset, \Omega\right]}\) będzie także stała.
Z warunku \(\displaystyle{ E( I_{A}E(X|Y)=E(I_{A}X)}\) dla \(\displaystyle{ A\in F_{Y}}\) dla \(\displaystyle{ A=\Omega}\) otrzymujemy
\(\displaystyle{ E(X|Y)= E(E(X|Y)=E(I_{\Omega}E(X|Y))=E(I_{\Omega}X)=E(X)=\int_{0}^{1}2xdx= 1.}\)

2.
Sigma ciało \(\displaystyle{ F_{Y}}\) ma dwa atomy \(\displaystyle{ A_{1}=\left[ 0, \frac{1}{2}\right), A_{2}=\left[\frac{1}{2}, 1 \right].}\)
Warunkowa wartość oczekiwana \(\displaystyle{ E(X|Y)}\) jest stała na \(\displaystyle{ A_{1}, A_{2}}\)
\(\displaystyle{ E(X|A_{1})=\frac{E(I_{A_{1}}E(X|Y)}{P(A_{1})}=\frac{E(I_{A_{1}}X)}{P(B_{1})}= \frac{1}{\frac{1}{2}}\int_{0}^{\frac{1}{2}}2xdx = \frac{1}{2}.}\)
Podobnie
\(\displaystyle{ E(X|A_{2})=\frac{1}{\frac{1}{2}}\int_{\frac{1}{2}}^{1}2xdx= \frac{3}{2}.}\)

3.
Zakładamy, że \(\displaystyle{ F_{Y}}\) składa się z wszystkich zbiorów postaci \(\displaystyle{ B \cap (1-B)}\) takich, że zbiór \(\displaystyle{ B \subset \left[ 0, \frac{1}{2}\right]}\) jest zbiorem borelowskim.
Niech \(\displaystyle{ X'(\omega)= X(1-\omega).}\)
Stąd
\(\displaystyle{ E(I_{B \cup (1-B)}X)=E(I_{B}X)+E(I_{1-B}X)=\frac{E(I_{B}X)+E(I_{1-B}X)}{2}+\frac{E(I_{B}X')+E(I_{1-B}X')}{2}= E\left( I_{B \cup (1-B)}\frac{1}{2}(X+X')\right).}\)
Ponieważ ta średnia arytmetyczna jest zmienną losową względem \(\displaystyle{ F_{Y}}\) więc
\(\displaystyle{ E(X|Y)(\omega)=\frac{X(\omega)+X'(\omega)}{2}=\frac{X((\omega)+X(1-\omega)}{2}=\left| 2\omega-1\right|.}\)

[ahk1986]

Dlaczego w punkcie drugim \(\displaystyle{ \mathcal{F}=\sigma(Y)}\) gdzie \(\displaystyle{ Y(\omega)=\omega^2}\) ma dwa atomy i to akurat takie jak podałeś? Jak to się ma do definicji sigma ciała generowanego przez zmienną losową (podanej w moim komentarzu w odpowiedzi powyżej) ?

[janusz47]

Założyłem, że \(\displaystyle{ F_{Y}=\left[ 0, \frac{1}{2}\right) \cup \left[\frac{1}{2}, 1\right].}\)

Bardziej ogólnie
Niech \(\displaystyle{ (a,b) \subset \left[0, 1 \right]}\). Wtedy \(\displaystyle{ (a, b)= \left\{ Y\in (a^2, b^2\right\}\in F_{y}.}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ [0, a)in F}\) dla każdego \(\displaystyle{ a\in \left[ 0,1 \right],}\) więc
\(\displaystyle{ \int_{0}^{a}E(X|Y)(\omega)d\omega = \int_{0}^{a}X(\omega)d\omega.}\)
Różniczkując obie strony powyższej równości względem \(\displaystyle{ a}\), otrzymujemy
\(\displaystyle{ E(X|Y)(\omega)= X(\omega)= 2\omega.}\)