Szeregi zmiennych losowych

[kapitak]

Witam. Mam pewien problem - kompletnie nie rozumiem w jaki sposób wyliczyć rozkład sumy zmiennych losowych \(\displaystyle{ P( X_{n} = 1/ 2^{n} ) = P( X_{n} = 0) =1/2}\)
Szukałem tu i tam lecz na nic nie trafiłem, z góry dzięki za pomoc

[Zordon]

Jeśli te zmienne są niezależne, to rozkład ich sumy \(\displaystyle{ X}\) jest jednostajny na przedziale \(\displaystyle{ [0,1]}\). Można to udowodnić, pokazując \(\displaystyle{ P(Xin [frac{i}{2^n},frac{i+1}{2^n}))=frac{1}{2^n}}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ n}\) oraz \(\displaystyle{ i=0,1,...,2^n-1}\).
Przykładowo \(\displaystyle{ P(X<1/2)=P(X_1=0)-P(X_1=0 \wedge X_2=X_3=X_4=...=1)=1/2-0=1/2}\).

[kapitak]

Czy istnieje jakas ogolna metoda gdybym dostal inny przyklad?

[Zordon]

Nie ma ogólnej metody rozwiązywania zadań.
W takich zadaniach czasem da się z powodzeniem stosować funkcje tworzące (transformata Fouriera).