próby Bernoulliego, parzysta liczba sukcesów

[gienia]

Obliczyć pstwo otrzymania parzystej liczby sukcesów w ciągu n prób Bernoulliego w z pstwem sukcesu p w pojedynczej próbie.

[kerajs]

Prawdopodobieństwo to co drugi wyraz w schemacie Bernouliego .
Rozbij odpowiedź na dwa przypadki : dla parzystego i dla nieparzystego n.

Ukryta treść:    

Dla n parzystego masz:
\(\displaystyle{ P(A)= {n \choose 0} p ^{0} (1-p) ^{n}+ {n \choose 2} p ^{2} (1-p) ^{n-2}+ ....{n \choose n} p ^{n} (1-p) ^{0}= \\= \sum_{i=0}^{ \frac{n}{2} } {n \choose 2i} p ^{2i}(1-p) ^{n-2i}}\)
a dla n nieparzystego :
\(\displaystyle{ P(A)= {n \choose 0} p ^{0} (1-p) ^{n}+ {n \choose 2} p ^{2} (1-p) ^{n-2}+ ....{n \choose n-1} p ^{n-1} (1-p) ^{1}=\\= \sum_{i=0}^{ \frac{n-1}{2} } {n \choose 2i}p ^{2i}(1-p) ^{n-2i}}\)

Można to prawdopodobieństwo wyrazić jednym wzorem : \(\displaystyle{ P(A)=\sum_{i=0}^{ \left[ \frac{n}{2}\right] } {n \choose 2i}p ^{2i}(1-p) ^{n-2i}}\)

[gienia]

Dziękuję.

Jeszcze mam pytanie, jak dojść z tamtego szeregu do takiego wyniku: \(\displaystyle{ \frac{1+(1-2p)^n}{2}}\), bo tak jest w odpowiedzi?

[Kartezjusz]

Dwumian Newtona

[gienia]

Dalej nie potrafię tego zrobić.

Jakby było \(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{ n } {n \choose 2i}p ^{2i}(1-p) ^{n-2i}}\)

to z tego wyszłoby \(\displaystyle{ (p+1-p)^n=1}\)?-- 11 sie 2014, o 18:17 --A nie, bo tam jest \(\displaystyle{ 2i}\). Mógłby ktoś to rozpisać, bo nie wiem jak?

[kerajs]

Nie wiem czy sama nie chciałabyś zrobić to zadanie więc masz wskazówkę:

Pewnie znasz taki wzór:
\(\displaystyle{ {n \choose k} = {n-1 \choose k-1}+ {n-1 \choose k}}\)

Każdy z wyrazów Twojej sumy można tak rozpisać:
\(\displaystyle{ {n \choose 2i}p ^{2i}(1-p) ^{n-2i} = \\=p{n-1 \choose 2i-1}p ^{2i-1}(1-p) ^{n-2i}+ (1-p){n-1 \choose 2i} p ^{2i}(1-p) ^{n-2i-1}=\\=p{n-1 \choose 2i-1}p ^{2i-1}(1-p) ^{n-2i}+ 1{n-1 \choose 2i} p ^{2i}(1-p) ^{n-2i-1}-p{n-1 \choose 2i}p ^{2i}(1-p) ^{n-2i-1}= \\=
p\left[ {n-1 \choose 2i-1}p ^{2i-1}(1-p) ^{n-2i}-{n-1 \choose 2i}p ^{2i}(1-p) ^{n-2i-1}\right] +{n-1 \choose 2i} p ^{2i}(1-p) ^{n-2i-1}}\)

Ale jak bedziesz chciała to dopiszę całe roozwiazanie.

[gienia]

Nie udało mi się tego dokończyć

Nie ma naprawdę prostszego sposobu, żeby dojść do tej odpowiedzi bez szeregu?
Bo tak jak do tego rozwiązania z szeregiem bym może w końcu doszła, to nie wpadłabym na pewno na to, jak to przekształcić do tej końcowej odpowiedzi.