niezależność zdarzeń, przestrzeń probabilistyczna dyskretna

[gienia]

Niech \(\displaystyle{ a_n=min(p_n,1-p_n)}\), gdzie \(\displaystyle{ p_n \in [0,1]}\). Wykazać, że jeśli \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } a_n}\) jest rozbieżny, to nie istnieje przestrzeń probabilistyczna dyskretna zawierająca niezależne zdarzenia \(\displaystyle{ A_1,A_2,...}\) takie, że \(\displaystyle{ P(A_n)=p_n}\).

[bartek118]

Przypuśćmy, że istnieje przestrzeń taka, że \(\displaystyle{ P(A_n) = p_n}\) oraz \(\displaystyle{ A_i}\) są niezależne. Wówczas
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } a_n = \sum_{n=1}^\infty \min \{ p_n, 1-p_n \} \leq \sum_{n = 1}^\infty p_n \leq 1}\)
- sprzeczność.

[gienia]

Dziękuję.-- 12 sie 2014, o 14:38 --A gdzie tu się korzysta z tego, że to jest przestrzeń dyskretna? I dlaczego \(\displaystyle{ \sum_{n = 1}^\infty p_n \leq 1}\)?