Warunkowa wartość oczekiwana

[ahk1986]

Załóżmy że zmienne losowe \(\displaystyle{ X_1,..,X_5, X_6, ...,X_{20}}\) są niezależne o rozkładzie normalnym o średniej 1 i wariancji 4. Niech:

\(\displaystyle{ S_5= X_1+..+X_5}\)
\(\displaystyle{ S_{20}=X_1+..+X_{20}}\)

Ile wynosi \(\displaystyle{ \mathbb{E}[S_5^2 | S_{20}=16]}\) ?

Czy prawdą jest że:
\(\displaystyle{ \mathbb{E}[S_5^2 | S_{20}=16]=\mathbb{E}[(16-X_6-X_7...-X_{20})^2]}\)
?

Założyłem że tak i policzyłem:
\(\displaystyle{ \mathbb{E}[(16-(2N_6+1+2N_7+1+..+2N_{20}+1))^2]=\mathbb{E}[(16-15-2(N_6+..+N_{20}))^2]=\mathbb{E}[(1-2\sqrt{15}N)^2]}\)

gdze \(\displaystyle{ N}\), \(\displaystyle{ N_6}\),.., \(\displaystyle{ N_{20}}\) mają standardowy rozkład normalny. Następnie:
\(\displaystyle{ \mathbb{E}[(1-2\sqrt{15}N)^2]=\mathbb{E}[1-4\sqrt{15}N+60N^2]=61}\). Niestety, nie zgadza się to z podanymi odpowiedziami.. W czym tkwi błąd ?

[robertm19]

A znasz wzory na \(\displaystyle{ E(X|Y)}\) oraz \(\displaystyle{ Var(X|Y)}\), gdy obie zmienne są z rozkładu normalnego?

[ahk1986]

Bez tego się nie obejdzie ? Czy prawdziwe jest choć moje założenie co do którego mam wątpliwości ?

[robertm19]

Obejdzie się ale trzeba by wyznaczać rozkłady i to raczej poszedłbym drogą \(\displaystyle{ S_{20}|S_5}\).

Ale jak chcesz szybkie rozwiązanie to ze wzorów.
Ciekawostka, zadanie to pojawiło się w marcu na egzaminie aktuarialnym.

[ahk1986]

Tak, to jest zadanie z aktuarialnego....

[robertm19]

Dopiero zaczynasz egzaminy?

[ahk1986]

Tak. Nie wiem jak się za to zabrać...

[robertm19]

Zrób tak jak mówię w takim razie. Na egzaminach nikt nie sprawdza czy umiesz wzory wyprowadzać. Po prostu naucz się ich na pamięć bo to znacznie przyśpieszy czas rozwiązywania zadań.

A może zacznij od zestawów, których rozwiązania są już w necie?

[ahk1986]

Chodzi też o zrozumienie... Czy moje założenie o którym piszę w pierwszym poscie jest prawdziwe ?

[robertm19]

Tak źle. Bo dlaczego znika warunek? Zmienne \(\displaystyle{ X_i}\) i=6,7...,20 zależą od \(\displaystyle{ S_{20}}\).

[Prefix]

Zadania na egz. aktuarialnym się powtarzają, więc podpowiadam, że to zadanie ma nr 5 z egzaminu z dnia 15 stycznia 2000. Rozwiązanie znajdziesz na znanej i lubianej stronie z odpowiedziami do wszystkich zadań