Warunkowa wartość oczekiwana
Warunkowa wartość oczekiwana
Załóżmy że zmienne losowe \(\displaystyle{ X_1,..,X_5, X_6, ...,X_{20}}\) są niezależne o rozkładzie normalnym o średniej 1 i wariancji 4. Niech:
\(\displaystyle{ S_5= X_1+..+X_5}\)
\(\displaystyle{ S_{20}=X_1+..+X_{20}}\)
Ile wynosi \(\displaystyle{ \mathbb{E}[S_5^2 | S_{20}=16]}\) ?
Czy prawdą jest że:
\(\displaystyle{ \mathbb{E}[S_5^2 | S_{20}=16]=\mathbb{E}[(16-X_6-X_7...-X_{20})^2]}\)
?
Założyłem że tak i policzyłem:
\(\displaystyle{ \mathbb{E}[(16-(2N_6+1+2N_7+1+..+2N_{20}+1))^2]=\mathbb{E}[(16-15-2(N_6+..+N_{20}))^2]=\mathbb{E}[(1-2\sqrt{15}N)^2]}\)
gdze \(\displaystyle{ N}\), \(\displaystyle{ N_6}\),.., \(\displaystyle{ N_{20}}\) mają standardowy rozkład normalny. Następnie:
\(\displaystyle{ \mathbb{E}[(1-2\sqrt{15}N)^2]=\mathbb{E}[1-4\sqrt{15}N+60N^2]=61}\). Niestety, nie zgadza się to z podanymi odpowiedziami.. W czym tkwi błąd ?
\(\displaystyle{ S_5= X_1+..+X_5}\)
\(\displaystyle{ S_{20}=X_1+..+X_{20}}\)
Ile wynosi \(\displaystyle{ \mathbb{E}[S_5^2 | S_{20}=16]}\) ?
Czy prawdą jest że:
\(\displaystyle{ \mathbb{E}[S_5^2 | S_{20}=16]=\mathbb{E}[(16-X_6-X_7...-X_{20})^2]}\)
?
Założyłem że tak i policzyłem:
\(\displaystyle{ \mathbb{E}[(16-(2N_6+1+2N_7+1+..+2N_{20}+1))^2]=\mathbb{E}[(16-15-2(N_6+..+N_{20}))^2]=\mathbb{E}[(1-2\sqrt{15}N)^2]}\)
gdze \(\displaystyle{ N}\), \(\displaystyle{ N_6}\),.., \(\displaystyle{ N_{20}}\) mają standardowy rozkład normalny. Następnie:
\(\displaystyle{ \mathbb{E}[(1-2\sqrt{15}N)^2]=\mathbb{E}[1-4\sqrt{15}N+60N^2]=61}\). Niestety, nie zgadza się to z podanymi odpowiedziami.. W czym tkwi błąd ?
-
- Użytkownik
- Posty: 1847
- Rejestracja: 8 lip 2008, o 21:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Staszów/Warszawa
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 378 razy
Warunkowa wartość oczekiwana
A znasz wzory na \(\displaystyle{ E(X|Y)}\) oraz \(\displaystyle{ Var(X|Y)}\), gdy obie zmienne są z rozkładu normalnego?
Warunkowa wartość oczekiwana
Bez tego się nie obejdzie ? Czy prawdziwe jest choć moje założenie co do którego mam wątpliwości ?
-
- Użytkownik
- Posty: 1847
- Rejestracja: 8 lip 2008, o 21:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Staszów/Warszawa
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 378 razy
Warunkowa wartość oczekiwana
Obejdzie się ale trzeba by wyznaczać rozkłady i to raczej poszedłbym drogą \(\displaystyle{ S_{20}|S_5}\).
Ale jak chcesz szybkie rozwiązanie to ze wzorów.
Ciekawostka, zadanie to pojawiło się w marcu na egzaminie aktuarialnym.
Ale jak chcesz szybkie rozwiązanie to ze wzorów.
Ciekawostka, zadanie to pojawiło się w marcu na egzaminie aktuarialnym.
-
- Użytkownik
- Posty: 1847
- Rejestracja: 8 lip 2008, o 21:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Staszów/Warszawa
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 378 razy
Warunkowa wartość oczekiwana
Zrób tak jak mówię w takim razie. Na egzaminach nikt nie sprawdza czy umiesz wzory wyprowadzać. Po prostu naucz się ich na pamięć bo to znacznie przyśpieszy czas rozwiązywania zadań.
A może zacznij od zestawów, których rozwiązania są już w necie?
A może zacznij od zestawów, których rozwiązania są już w necie?
Warunkowa wartość oczekiwana
Chodzi też o zrozumienie... Czy moje założenie o którym piszę w pierwszym poscie jest prawdziwe ?
-
- Użytkownik
- Posty: 1847
- Rejestracja: 8 lip 2008, o 21:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Staszów/Warszawa
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 378 razy
Warunkowa wartość oczekiwana
Tak źle. Bo dlaczego znika warunek? Zmienne \(\displaystyle{ X_i}\) i=6,7...,20 zależą od \(\displaystyle{ S_{20}}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 33
- Rejestracja: 4 maja 2007, o 18:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3 razy
Warunkowa wartość oczekiwana
Zadania na egz. aktuarialnym się powtarzają, więc podpowiadam, że to zadanie ma nr 5 z egzaminu z dnia 15 stycznia 2000. Rozwiązanie znajdziesz na znanej i lubianej stronie z odpowiedziami do wszystkich zadań