średnia odległość

[54321]

Bardzo proszę o pomoc z tym zadaniem
Mamy n osiedli położonych wzdłuż drogi w odległości 1 km od siebie. Osiedla obsługuje jedna karetka pogotowia. Każde kolejne wezwanie z jednakowym prawdopodobieństwem pochodzi z dowolnego punktu i zostaje natychmiast przekazane do karetki, która oczekuje na nie w osiedlu, w którym znajduje się ostatni chory. Jaka jest średnia odległość przejeżdżania przez karetkę w czasie jednego kursu?
odp.\(\displaystyle{ \frac{n-1}{3} \left( 1+ \frac{1}{n} \right)}\)

[szw1710]

Zadanie z książki Jakubowskiego i Sztencla. Nie zastanawiałem się jeszcze nad nim. Ale kojarzy mi się z moją małą cierpliwością. Proponuję \(\displaystyle{ n=3}\). Winda w moim bloku zatrzymuje się tylko na trzech piętrach: 3,6,9. Powiedzmy, że realia są te same, czyli wezwanie pochodzi z dowolnego piętra 3,6,9 z jednakowym prawdopodobieństwem. I oczywiście winda oczekuje tam, gdzie się ostatnio zatrzymała. A więc średnio przejeżdża \(\displaystyle{ \frac{2}{3}\cdot\frac{4}{3}\cdot 3}\) piętra, czyli \(\displaystyle{ \frac{8}{3}}\) piętra Średnia jest mniejsza niż 3 piętra, bo winda może już czekać na pasażera na jego piętrze.

[54321]

a skąd te liczby? ale jesli do mojego wzoru podstawie 3 to inny wynik wychodzi.

[szw1710]

Bo u mnie jednostką są trzy piętra, a u Ciebie jeden kilometr.

-- 31 lip 2014, o 20:31 --

Zastanów się nad takimi rzeczami:

1. Powiedzmy, że karetka stoi w osiedlu \(\displaystyle{ j}\). Z jakim prawdopodobieństwem to się dzieje?
2. Jeśli już stoi w punkcie \(\displaystyle{ j}\), to jaką drogę przejedzie do punktu \(\displaystyle{ i}\)? Z jakim prawdopodobieńśtwem to się odbędzie?
3. Wartościami odpowiedniej zmiennej losowej są właśnie odległości przejeżdżane przez karetkę. Jak to wykorzystać?

Po napisaniu odpowiedniej sumy rzeczywiście wychodzi to co ma wyjść.

Wykorzystaj w zadaniu wzory:

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^m k^2=\frac{m(m+1)(2m+1)}{6}}\)
oraz
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^m k=\frac{k(k+1)}{2}}\)

Ten drugi zapewne znasz, pierwszy udowodnij sobie przez indukcję.

[54321]

1. w każdym osiedlu prawdopodobieństwo jest jednakowe
2.jeśli \(\displaystyle{ j=i}\) to 0km
jeśli\(\displaystyle{ j \neq i}\) to\(\displaystyle{ \left| j-i\right|}\) km ale z jakim to prawdopodobieństwem to nie wiem jak to sie liczy

[szw1710]

OK. Zauważ, że opisywany eksperyment to doświadczenie dwuetapowe. Wyobraź sobie drzewko.

[54321]

ale jakie to etapy?

[szw1710]

1. Karetka stoi w osiedlu \(\displaystyle{ j}\) z prawdopodobieństwem...
2. Po wezwaniu karetka jedzie w miejsce \(\displaystyle{ i}\) z prawdopodobieństwem...

Oczywiście przejeżdża wtedy odległość - jak napisałeś - \(\displaystyle{ |j-i|}\).

[54321]

chyba coś w tym zadaniu nie rozumiem . napisze jak ja go rozumiem.
karetka stoi w jakimś osiedlu , w każdym osiedlu prawdopodobieństwo jest takie same, wiec spoko mamy n osiedli to wynosi ono \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\)
karetka dostaje wezwanie
a. z tego osiedla to wtedy przebędzie 0km i wg mnie prawdopodobieństwo ze dostanie z tego osiedla wezwanie to \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\)
b. z jakiegoś innego i przebędzie \(\displaystyle{ \left| j-i\right|}\)km , prawd. ze dostanie z innego osiedla wezwanie to \(\displaystyle{ \frac{n-1}{n}}\)

[szw1710]

ad b) Inne osiedla mają te same prawa. Zauważ, że wzywający nie wie, gdzie stoi karetka. A wezwanie z każdego osiedla ma to samo prawdopodobieństwo. Tak więc dla każdego osiedla masz \(\displaystyle{ \frac{1}{n}.}\)

Trudność w rozwiązaniu zadania polega na obliczeniu pewnej sumy. Wskazówkę podałem już wcześniej.

[gienia]

Też mam problem z tym zadaniem.

X-numer osiedla, w którym stoi karetka, Y-odległość, jaką karetka musi przejechać do kolejnego osiedla

Żeby obliczyć średnią odległość, trzeba obliczyć prawdopodobieństwo, że karetka stoi w j i ma przejechać odległość i, a potem podzielić to przez prawdopodobieństwo, że stoi w j?

Nie wiem, jak obliczyć prawdopodobieństwo, że stoi w j i ma przejechać odległość i.

[_radek]

Próbuję to zadanie zrobić już któryś raz (za każdym razem co innego wychodzi ) więc prosiłbym o poprawienie.

1. Zakładam że karetka stoi w \(\displaystyle{ k}\)-tym miejscu. Wtedy \(\displaystyle{ X_{k}}\) to zmienna losowa która mówi jaką drogę karetka będzie miała do przejechania. No i chciałbym policzyć \(\displaystyle{ \EE X_{k}}\)
\(\displaystyle{ \EE X_{k}= \sum_{i=1}^{n}\left| i-k\right| \frac{1}{n}}\) bo w każdy punkt mogę mieć wezwanie z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ n}\) no i \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\) wyciągam przed sumę, rozbijam wartość bezwzględną
\(\displaystyle{ \frac{1}{n}( \sum_{i=1}^{k}(k-i) + \sum_{i=k+1}^{n}(i-k) )= \frac{1}{n}( \sum_{i=1}^{k}(k-i) + \sum_{i=k+1}^{n}(i-k) )}\) podstawiam sobie \(\displaystyle{ z=k-i}\) oraz \(\displaystyle{ z=i-k}\) no i mam
\(\displaystyle{ \sum_{z=0}^{k-1}z}\) oraz \(\displaystyle{ \sum_{z=1}^{n-k}z}\)
No i dodając, po zrobieniu porządku mamy:
\(\displaystyle{ \frac{1}{n}( \frac{k(k-1)}{2} + \frac{(n-k)(n-k+1)}{2} )}\)

Teraz korzystam ze wzoru z przeliczalnym rozbiciem
\(\displaystyle{ \EE=\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{ \frac{1}{n}} \frac{1}{n}( \frac{k(k-1)}{2} + \frac{(n-k)(n-k+1)}{2} ) \frac{1}{n}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{2n}\sum_{1}^{n} (2k^2-2k+n^2-2nk+n)}\) korzystając z tych wzorów mamy
\(\displaystyle{ \frac{1}{2n}( \frac{2n(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{2n(n+1)}{2}+n^3-2n \frac{n(n+1)}{2}+n^2 )}\)
a to jest
\(\displaystyle{ \frac{(n+1)(n-1)}{3}}\)... czyli gdzieś zgubiłem na w mianowniku, tylko nie wiem gdzie...