niezaleznosc zm.losowych

[natasza123]

Zmienne losowe \(\displaystyle{ X,Y}\) sa niezależne oraz mają rozkład normalny \(\displaystyle{ N(0,1)}\)
a.czy \(\displaystyle{ X+Y,X-Y}\) są niezależne
b.Kiedy \(\displaystyle{ aX+bY}\) i \(\displaystyle{ cX+dY}\) sa niezalezne

[szw1710]

Czy masz książkę Jakubowskiego i Sztencla? Tam to wszystko jest pięknie wyjaśnione.

[robertm19]

W przypadku rozkładów normalnych wystarczy do niezależności aby kowariancja była równa 0.

[PiotrowskiW]

robertm19, Bardzo przydatna uwaga dla tego zadania!
Przypomniało mi się, że kiedyś na kolokwium miałem udowodnić, że dla rozkładu normalnego \(\displaystyle{ N(m,\sigma^2)}\) niezależność zmiennych losowych jest równoważna nieskorelowaniu (zerowaniu się kowariancji).
A to zadanie powyżej miałem na kolokwium w tym roku

-- 30 lip 2014, o 13:28 --

\(\displaystyle{ cov\left( X+Y,X-Y\right)=E\left(\left(X+Y \right) \cdot \left(X-Y \right) \right)-E\left( X+Y \right) \cdot E\left( X-Y\right)=
E\left( X^2-Y^2\right)-\left( EX-EY\right) \cdot \left( EX+EY\right)=E\left( X^2-Y^2\right)=EX^2-EY^2=1-1=0}\)-- 31 lip 2014, o 13:44 --\(\displaystyle{ cov\left( aX+bY,cX+dY\right)=E\left( acX^2+\left(ad+bc\right)XY+bdY^2\right)= acEX^2+\left(ad+bc\right)EXEY+bdEY^2= ac+bd}\)

[fon_nojman]

Gwoli ścisłości warto zrobić komentarz do przedmówców.

1) Jeżeli wektor losowy \(\displaystyle{ (X,Y)}\) ma dwuwymiarowy rozkład normalny to niezależność \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) jest równoważna ich nieskorelowaniu.

2) Z nieskorelowania zmiennych losowych \(\displaystyle{ X, Y}\) o rozkładzie \(\displaystyle{ \mathcal{N}(0,1)}\) NIE! wynika ich niezależność.
Przykład: \(\displaystyle{ X\sim \mathcal{N}(0,1), Y\sim WX,}\) gdzie \(\displaystyle{ P(W=1)=P(W=-1)=\frac{1}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ W, X}\) są niezależne.

W naszym zadaniu mamy sytuację 1) czyli rzeczywiście wystarczy badać nieskorelowanie.

[robertm19]

fon_nojman, sprawdzę to w domu, ale wydaje mi się, że jak pomnożę gęstości to dostanę dokładnie rozkład wektora.