Prawdopodbieństwo, losowy wybór liczyby z przedziału

[niunsn]

Z przedziału <0;1> wybrano losowo liczbę x. Jakie jest prawdopodobieństwo że jest to liczba wymierna? Jakie jest prawdopodobieństwo że jest to liczba niewymierna?

[szw1710]

1. Jak określamy prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia \(\displaystyle{ A\subset [0,1]}\)? Jakim zbiorem musi być A?
2. Jaka jest moc zbioru liczb wymiernych?
3. Odpowiedź dla zbioru liczb niewymiernych wynika natychmiast z rozwiązania zadania z liczbami wymiernymi.

[Janusz Tracz]

Właśnie się zastanawiam nad tym zadaniem i wydaje mi się że można to zrobić tak

\(\displaystyle{ \left| [0,1]\right|=\mathfrak{c}}\)

\(\displaystyle{ \left| \left\{ x\in[0,1]:x\in\mathbb{Q}\right\} \right|=\aleph}\)

\(\displaystyle{ \left| \left\{ x\in[0,1]:x\not\in\mathbb{Q}\right\} \right|=\mathfrak{c}-\aleph=\mathfrak{c}}\)

Dlatego

\(\displaystyle{ \mathbb{P}\left( x\in\mathbb{Q}\right)= \frac{\aleph}{\mathfrak{c}}=0}\)

\(\displaystyle{ \mathbb{P}\left( x\not\in\mathbb{Q}\right)= \frac{\mathfrak{c}}{\mathfrak{c}}=1}\)

[szw1710]

Działania na liczbach kardynalnych są tu formalne. Idea jest jednak dobra.

Rozwiązanie zadania można oprzeć na mierze Lebesgue'a, która jest probabilistyczna na \(\displaystyle{ [0,1]}\). Więc \(\displaystyle{ \Omega=[0,1]}\), sigma-ciało zdarzeń to sigma-ciało zbiorów borelowskich w \(\displaystyle{ [0,1]}\) a prawdopodobieństwo to miara Lebesgue'a. Skoro miara Lebesgue'a zbioru przeliczalnego wynosi zero, to i prawdopodobieństwo naszego zdarzenia jest zerowe.

To jest podejście domyślne. Jeśli nie podaje się jaka miara jest prawdopodobieństwem, przyjmujemy za nie miarę Lebesgue'a (ewentualnie znormalizowaną). Przy innym wyborze miary probabilistycznej możemy mieć inne rozwiązanie.