Niezaleźność trójki zdarzeń.

[chlopina]

Niech para \(\displaystyle{ ( $\Omega$ , P)}\) będzie przestrzenią probabilistyczną, natomiast \(\displaystyle{ A, B, C}\) dowolnymi podzbiorami zbioru \(\displaystyle{ $\Omega$}\). Wykazać, że jeżeli zdarzenia \(\displaystyle{ A, B, C}\) są niezależne, to zdarzenia \(\displaystyle{ A \cup B}\) i \(\displaystyle{ C}\) są też niezależne.

[fon_nojman]

Jest taka własność, że \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) są niezależne wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ A'}\) i \(\displaystyle{ B}\) są niezależne.

Skorzystaj z niej tzn. pokaż, że \(\displaystyle{ (A \cup B)'}\) i \(\displaystyle{ C}\) są niezależne.

[robertm19]

\(\displaystyle{ P((A \cup B) \cap C)= P(A \cap C \cup B \cap C)= P(A \cap C)+P(B \cap C)-P(A \cap B \cap C)}\) dalej skończ.

[chlopina]

\(\displaystyle{ P((A \cup B) \cap C)= P(A \cap C \cup B \cap C)= P(A \cap C)+P(B \cap C)-P(A \cap B \cap C)}\) dalej skończ.

\(\displaystyle{ P((A \cup B) \cap C)= P(A \cap C \cup B \cap C)= P(A \cap C)+P(B \cap C)-P(A \cap B \cap C)=
P(A) \cdot P(C)+P(B) \cdot P(C)-P(A) \cdot P(B) \cdot P(C)=P(C) \cdot [P(A)+P(B)-P(A) \cdot P(B)]=
P(C) \cdot [P(A)+P(B)-P(A \cap B)] = P(C) \cdot P(A \cup B)}\)

Jest w porządku?

[robertm19]

ok