Czy może ktoś sprawdzić?

[karolcia_23]

Hej mam prośbę, czy może ktoś mi sprawdzić czy dobrze wykonałam zadania (jeśli nie to czy możecie poprawić)?

Zad.1 W pudełku znajduje się 12 białych i 5 czarnych kul, przy czym kule w obrębie ustalonego koloru są nierozróżnialne. Wybieramy siedem kul tak, by co najmniej trzy z nich były białe oraz co najmniej trzy z nich były czarne, następnie wybrane kule ustawiamy w ciąg. Na ile sposobów można to uczynić?
Odp. : \(\displaystyle{ 2\cdot \frac{7!}{3!\cdot 4!}}\)

Zad.2 Drut metalowy o długości 20cm zgięto w losowo wybranym punkcie. Dłuższą z pozostałych części zgięto jeszcze w dwóch punktach tak, że powstała prostokątna ramka. Wyznaczyć p-stwo tego, że pole ograniczone przez tą ramkę nie przekracza \(\displaystyle{ 21 czm^2}\)
Odp.:
X-odległość punktu do bliższego końca drutu
\(\displaystyle{ \Omega = [0,10]}\)
A-pole ograniczone ramką nie przekracza \(\displaystyle{ 21 cm^2}\)
\(\displaystyle{ x(10-x) \le 21 \\
x \in [0,10]\\
A=\left\{ [0,3] \cup [7,10]\right\} \\
P(A)=\frac{6}{10}}\)

Zad.3 W szpitalu na oddziale wewnętrznym przebywa rocznie średnio 2000 chorych. Wśród leczonych było 800 cierpiących na chorobę \(\displaystyle{ K_1}\), 600 cierpiących na chorobę \(\displaystyle{ K_2}\), 400 cierpiących na chorobę \(\displaystyle{ K_3}\) oraz 200 cierpiących na chorobę \(\displaystyle{ K_4}\). Pstwo pełnego wyleczenia z chorób wynosi odpowiednio 0.9, 0.8, 0.7, 0.5. Obliczyć pstwo, że losowo wypisany pacjent jest całkowicie wyleczony. Jaki jest odsetek wyleczonych pacjentów z choroby \(\displaystyle{ K_1}\) wśród wyleczonych pacjentów szpitala?
Odp.:
A-osoba wyleczona
\(\displaystyle{ H_1}\)- osoba chora na \(\displaystyle{ K_1}\)
\(\displaystyle{ H_2}\)- osoba chora na \(\displaystyle{ K_2}\)
\(\displaystyle{ H_3}\)- osoba chora na \(\displaystyle{ K_3}\)
\(\displaystyle{ H_4}\)- osoba chora na \(\displaystyle{ K_4}\)
\(\displaystyle{ P(A)=P(A|H_1)P(H_1)+P(A|H_2)P(H_2)+P(A|H_3)P(H_3)+P(A|H_4)P(H_4)=\frac{79}{100}}\)
\(\displaystyle{ P(H_1|A)=\frac{P(A|H_1)P(H_1)}{P(A)}=\frac{36}{79}}\)

-- 18 lip 2014, o 18:31 --

Zad.4 Strzelec A trafia do celu z pstwem 0.7, a strzelec B z pstwem 0.8. Każdy ze strzelców ma do dyspozycji \(\displaystyle{ N \ge 6}\) naboi wśród których jest \(\displaystyle{ m<N}\) ślepaków. Każdy z nich losuje sześć naboi. Następnie siedem razy powtarzamy następujące zdarzenie: rzucamy kostką sześcienną gdy wypadnie 1 lub 6 strzela A, a gdy wypadnie liczba ze zbioru {2,3,4,5} to strzela B. Jakie jest pstwo, że w sumie będą cztery trafienie?
Odp. :
\(\displaystyle{ A_i}\)-trafienie do celu w i-tej próbie
\(\displaystyle{ H_1}\)-wypadnięcie 1 lub 6
\(\displaystyle{ H_2}\)-wypadnięcie liczby ze zbioru {2,3,4,5}
\(\displaystyle{ A_1,...,A_7}\)-niezależne
\(\displaystyle{ P(A_i)=P(A_1)}\)
\(\displaystyle{ P(A_1)=P(A|H_1)P(H_1)+P(A|H_2)P(H_2)=0,7\cdot \frac{1}{6}+0,8 \cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{4}=p}\)
\(\displaystyle{ A}\)-trafienie 4-krotne w 7 próbach
\(\displaystyle{ P(A_1^c)=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}=q}\)
\(\displaystyle{ P(A)= {7 \choose 4}\cdot \left( \frac{1}{4}\right) ^4 \cdot \left( \frac{3}{4}\right) ^3}\)-- 18 lip 2014, o 18:36 --Zad.5
Pokazać, że
\(\displaystyle{ \sigma(\left\{ (a,b); a<b, a,b \in Q\right\} ) = \sigma (\left\{ (a, \infty ), a \in R\right\} )}\)
Odp.:
\(\displaystyle{ C_1=\left\{ (a,b); a<b, a,b \in Q\right\}\\
C_2=\left\{ (a, \infty) , a \in R\right\}\\
F_1=\sigma(C_1)\\
F_2=\sigma(C_2)\\
C_1 \in C_2\\
\sigma(C_1) \subset \sigma(C_2)\\
F_1 \subset F_2}\)

[squared]

Zad. 1
W mojej ocenie zrobione bardzo dobrze, permutacja z powtórzeniami, razy dwa też dobrze.

[robertm19]

W zadaniu 5 musisz pokazać, że zbiory z jednego sigma ciała należą do drugiego i na odwrót. Należy skorzystać z przeliczalnej addytywności.-- 19 lipca 2014, 09:10 --Drugie jest ok.

[karolcia_23]

A czy może ktoś pokazać jak poprawnie wykonać zadanie 5 bo prawdę mówiąc to miałam tylko jeden przykład na zajęciach i nie wiem jak to zrobić, ale coś kombinowałam i tu wpisałam.-- 21 lip 2014, o 13:13 --A czy zadanie 3 i 4 dobrze? Jeśli nie to proszę o poprawki
A i jeszcze raz napisze 5 jeśli jest źle to także proszę o poprawki.

Zad.5
\(\displaystyle{ \sigma(\left\{ (a,b); a<b ; a,b \in Q\right\} )= \sigma(\left\{ (a, \infty ), a \in R\right\} )}\)
\(\displaystyle{ C_1=\left\{ (a,b); a<b ; a,b \in Q\right\}}\)
\(\displaystyle{ C_2=\left\{ (a, \infty ), a \in R\right\}}\)
\(\displaystyle{ F_1=\sigma(C_1)}\)
\(\displaystyle{ F_2=\sigma(C_2)}\)
1. \(\displaystyle{ F_1 \subseteq F_2}\)
\(\displaystyle{ (a,b)=(- \infty ,b) \cap (a,+ \infty )}\)
\(\displaystyle{ (- \infty ,b)=Q \setminus \bigcap_{n \in N}(b-\frac{1}{1+n},+ \infty )}\)
2. \(\displaystyle{ F_2 \subseteq F_1}\)
\(\displaystyle{ (a,+ \infty )= \bigcup_{n=1}^{ \infty }(a,a+n)}\)