lemat borela-cantelliego

[natasza123]

Niech A_n będą zdarzeniami niezależnymi,\(\displaystyle{ P(A_n)=p_n \in (0,1)}\) .Wykaż, że zachodzi co najmniej jedno ze zdarzeń. \(\displaystyle{ A_n}\) wtedy i tylko wtedy, gdy z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 1}\) zachodzi nieskończenie wiele zdarzeń \(\displaystyle{ A_n}\)

Mam problem z implikacją \(\displaystyle{ \Rightarrow}\)

[janusz47]

Z założenia niezależności zdarzeń \(\displaystyle{ A_{n}}\) wynika, że zdarzenia \(\displaystyle{ A'_{n}}\) są niezależne i
\(\displaystyle{ Pr\left( \Omega \setminus \bigcup_{k=n}^{\infty}A_{k} \right)= Pr\left( \bigcap_{k=n}^{\infty}(\Omega \setminus A_{k} )\right)= \prod_{k=n}^{\infty}\left( 1- P(A_{k} )\right) \leq \prod_{k=n}^{\infty}e^{-P(A_{k})}= exp\left\{ - \sum_{k=n}^{\infty} P(A_{k})\right\}= 0.}\)
Skorzystaliśmy z nierówności \(\displaystyle{ 1+x \leq e^{x}}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ \sum_{k=n}^{\infty}P(A_{k})=\infty}\) więc \(\displaystyle{ Pr\left(\bigcup_{k=n}^{\infty} P(A_{k})\right) = 1}\) dla każdego \(\displaystyle{ n\in N.}\)
c.b.d.o.

[a4karo]

A skąd wziałęś założenie o rozbieżności szeregu prawdopodobieństw?

[janusz47]

kiedy e^{-x}=0 ?

[a4karo]

No tak, tylko skąd to wziąłeś. Innymi słowy dlaczego prawa strona jest równa 0?

[janusz47]

W drugim lemacie Borela- Cantelliego zakłada się, że zdarzenia \(\displaystyle{ A_{n}}\) są niezależne i takie, że \(\displaystyle{ Pr\left(\sum_{n=k}^{\infty}A_{n}\right)=\infty.}\)

[a4karo]

NO tak, ale tego nie ma w założeniach problemu, który został postawiony.

[janusz47]

Istotne założenie zostało pominięte przy sformowaniu lematu.

[a4karo]

Nie możesz tego zakładać. W tej sytuacji lepiej poszukać kontrprzykładu. Nawiasem mówiąc, nie uważasz, że milczenie autorki posta jest dość znamienne? Może nie zależy jej na rozwiązaniu problemu?

[janusz47]

Jeśli to jest dowód jednej z wersji lematu Borella-Cantalliego to takie założenie, powinno być uwzględnione.