Wartość oczekiwana

[karolcia_23]

Hej, mam problem z zadaniem, czy może mi ktoś pomóc i wyjaśnić jak powinnam je zrobić?

Zadanie:
Niech \(\displaystyle{ X_0,X_1,X_2,...}\) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych takich, że \(\displaystyle{ X_n \sim U(0,1), n \ge 0}\). Obliczyć \(\displaystyle{ EY}\), gdzie \(\displaystyle{ Y=inf\left\{ n; X_n > X_0\right\}}\).

Wyliczyłam tylko to, ale nie wiem czy się przyda
\(\displaystyle{ EX_n=\frac{1}{2}\\
Var(X_n)=\frac{1}{12}\\
g_{X_n}(x)=1\\
F_{X_n}(x)=x}\)

[robertm19]

Wyznacz rozkład Y. Zauważ, że \(\displaystyle{ P(Y=n)= P(X_{1}\leq X_0,...,X_{n-1}\leq X_0, X_n>X_0)}\).

[karolcia_23]

\(\displaystyle{ P(Y=n)= P(X_{1}\leq X_0,...,X_{n-1}\leq X_0, X_n>X_0)=\\
P(X_1 \le X_0)+...+P(X_{n-1} \le X_0)+P(X_n>X_0)-P(X_1 \le X_0 \vee ... \vee X_{n-1} \le X_0 \vee X_n>X_0)=\\
F_{X_1}(X_0)+...+F_{X_{n-1}}(X_0)+1-F_{X_n}(X_0)-1=\\
F_{X_1}(X_0)+...+F_{X_{n-1}}(X_0)-F_{X_n}(X_0)}\)

dobrze? jeśli tak to co dalej

[robertm19]

Źle, nawet źle zastosowałaś zasadę włączeń i wyłaczeń. Zwarunkuj względem \(\displaystyle{ X_0}\) i skorzystaj z niezależności.

[karolcia_23]

Przepraszam ale tak miałam na zajęciach czy możesz pokazać jak to powinno wyglądać poprawnie?

[robertm19]

Idąc dalej \(\displaystyle{ P(Y=n)=\int_0^1 P(X_1\leq t|X_0=t)\cdot ....P(X_{n-1}\leq t|X_0=t)P(X_n> t|X_0=t)dt}\).

[karolcia_23]

czyli to co ja napisałam to wszystko źle?

[robertm19]

Tak

[karolcia_23]

czyli powinnam to zastosować\(\displaystyle{ P(Y=n)=\int_0^1 P(X_1\leq t|X_0=t)\cdot ....P(X_{n-1}\leq t|X_0=t)P(X_n> t|X_0=t)dt}\)
a następnie coś w stylu tego co pisałam?-- 17 lip 2014, o 22:23 --\(\displaystyle{ P(Y=n)=\int_0^1 P(X_1\leq t|X_0=t)\cdot ....P(X_{n-1}\leq t|X_0=t)P(X_n> t|X_0=t)dt=\\
\int_0^1 P(X_1\leq t|X_0=t)dt\cdot ....\int_0^1 P(X_{n-1}\leq t|X_0=t)dt \int_0^1P(X_n> t|X_0=t)dt}\)

dobrze?

[robertm19]

Nie tak całek nie mnożymy.

[karolcia_23]

to już nie wiem jak

-- 18 lip 2014, o 12:08 --

czy coś takiego?
\(\displaystyle{ P(Y=n)=\int_0^1 P(X_1 \le t | X_0=t) \cdot ... \cdot P(X_{n-1} \le t | X_0=t) \cdot P(X_n > t | X_0=t)dt=\\
\int_0^1 F_(X_1)(t) \cdot ... \cdot F_(X_{n-1})(t) \cdot (1-F_(X_n)(t))dt=\\
\int_0^1 t^{n-1}(1-t) dt= \\
\left[ t^n \cdot (\frac{1}{n}-\frac{t}{n+1}){\right]|_{[0,1]}=\\
\frac{1}{n(n+1)}}\)

I teraz muszę zrobić tak:
\(\displaystyle{ EY=\int_0^1 y \cdot g(y) dy= \int_0^1 y \cdot \frac{1}{y(y+1)}dy=...}\)?