obliczyc Cov- znalezienie błedu

[natasza123]

Niech K będzie zmienną losową taką, że \(\displaystyle{ P(K=k) = 0.1}\) dla \(\displaystyle{ k= 1,...,10}\). Niech \(\displaystyle{ X_k}\)=\(\displaystyle{ 1}\),gdy \(\displaystyle{ K=k}\),\(\displaystyle{ 0}\), gdy \(\displaystyle{ K \neq k}\),
\(\displaystyle{ S_5=X_1+X_2+X_3+X_4+X_5}\). Obliczyć \(\displaystyle{ Cov(X_1,S_5)}\)
Odp. \(\displaystyle{ \frac{1}{20}}\)
z def. \(\displaystyle{ Cov(X_1,S_5)=E(X_1*S_5)-EX_1*ES_5}\)
\(\displaystyle{ EX_1=E1^*(K=1)=P(K=1)= \frac{1}{10}}\) gdzie 1*-indykator
\(\displaystyle{ ES_5=EX_1+..+EX_5=5* \frac{1}{10}= \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ EX_1*S_5=EX_1*X_1+..+EX_1*X_5=5* \frac{1}{10}*\frac{1}{10}= \frac{1}{20}}\) ego nie jestem pewna
i wychodzi ze \(\displaystyle{ Cov(X_1,S_5)=0}\)
gdzie popełniłam błąd?

[Adifek]

\(\displaystyle{ X_1}\) i \(\displaystyle{ S_5}\) nie są niezależne, więc ostatnia linijka nie jest prawdziwa. Dokładnie źle liczysz drugi moment \(\displaystyle{ X_1}\).

[natasza123]

a mógłbys mi poweidziec jak to poprawic bo nie wiem za bardzo jak.

[Adifek]

\(\displaystyle{ EX_1^2 \neq 0.1 \cdot 0.1}\)

[natasza123]

czy to \(\displaystyle{ \frac{1}{10} *1= \frac{1}{10}}\)

[Adifek]

Tak.

[natasza123]

a pozostałę sa ma byc \(\displaystyle{ \frac{1}{100}}\)? bo jesli tak to nie wyjdzie wynik \(\displaystyle{ \frac{1}{20}}\)

[Adifek]

\(\displaystyle{ EX_1S_5 = EX_1^2 + EX_1EX_2 +... +EX_1EX_5}\)

\(\displaystyle{ Cov(X_1, S_5) = EX_1S_5 - EX_1 ES_5 = \\ \\ =\left( EX_1^2 + EX_1EX_2 +... +EX_1EX_5\right) -\left( EX_1EX_1 + EX_1EX_2 +... +EX_1EX_5\right) =\\ \\ = EX_1^2 - (EX_1)^2 = VarX_1}\)

[natasza123]

\(\displaystyle{ EX_1^2 - (EX_1)^2 = \frac{1}{10}- (\frac{1}{10} )^2= \frac{9}{100} \neq \frac{1}{20}}\)
_________________

[Adifek]

Dziewięć setnych to poprawny wynik.

[54321]

tez sie głowie z tym zadaniem, w jednym z arkuszy na aktuariusza znalazlem to zadanie i tak było rozwiązane
\(\displaystyle{ P(X_k=1)= \frac{1}{10}}\)
\(\displaystyle{ EX_1= \frac{1}{10}}\)
\(\displaystyle{ PS_5= \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ Ex_1S_5=E[X_1*(X_1+..+X_5)]=1*P(X_1=1)= \frac{1}{10}}\)
\(\displaystyle{ Cov(X_1,S_5)= \frac{1}{20}}\)
Ale nie wiem skąd w tej przed ostatniej linijce ta 1?
Może ktoś wie skąd ona się wzięła?

[Prefix]

\(\displaystyle{ X_1}\) może przyjąć wartość \(\displaystyle{ 1}\) z p-stwem \(\displaystyle{ 1/10}\). Teraz zastanów się, czym jest to \(\displaystyle{ EX_1S_5}\). Jest to wartość pierwszej zmiennej, czyli \(\displaystyle{ X_1}\), pomnożona przez sumę pierwszych \(\displaystyle{ 5}\) zmiennych. Czyli są \(\displaystyle{ 2}\) wyjścia.
\(\displaystyle{ 1)}\) \(\displaystyle{ X_1}\) przyjęło wartość \(\displaystyle{ 1}\). Dzieje się tak z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 1/10}\). Wtedy ta suma \(\displaystyle{ 5}\) zmiennych będzie miała także wartość \(\displaystyle{ 1}\).
\(\displaystyle{ 2)}\) \(\displaystyle{ X_1}\) nie jest jedynką, czyli ma wartość \(\displaystyle{ 0}\). P-stwo tego to \(\displaystyle{ 9/10}\). Wtedy nie ma znaczenia, jaka będzie ta suma \(\displaystyle{ 5}\) zmiennych, ponieważ \(\displaystyle{ X_1S_5}\) to wynik mnożenia \(\displaystyle{ 2}\) czynników, gdzie pierwszy ma zawsze wartość \(\displaystyle{ 0}\).

Czyli \(\displaystyle{ EX_1S_5 \ = \ 0,1*1*1+0,9*0*cokolwiek=0,1}\)

[robertm19]

Prefix, oczywiście ma rację. Tyle w temacie.

[natasza123]

bardzo dziękuje-- 13 sie 2014, o 18:28 --A dlaczego w 1} ta suma 5 zmiennych będzie miała wartość 1?