Jakie jest prawdopodobieństwo, że...

[chlopina]

Ze zbioru liczb \(\displaystyle{ {1, 2, 3, 4, 5, 6}}\) losujemy kolejno pierwszą liczbę, która jest cyfrą setek, potem drugą, która jest cyfrą dziesiątek, potem trzecią, która jest cyfrą jedności. Jakie jest prawdopodobieństwo, że utworzona w ten sposób liczba będzie parzysta lub co najmniej dwie jej cyfry należą do zbioru \(\displaystyle{ {1, 2, 3}}\)?

[mm34639]

losujemy ze zwracaniem czy bez?

[chlopina]

Bez zwracania.

[AloneAngel]

Należy tutaj policzyć prawdopodobieństwo tego, że dana liczba będzie parzysta, plus to, że dwie cyfry liczby należą do zbioru 1, 2, 3. A następnie odjąć prawdopodobieństwo tego, że dana liczba będzie parzysta i jej dwie cyfry będą należeć do zbioru 1, 2, 3. (Korzystamy tutaj ze wzoru \(\displaystyle{ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)}\)

Zacznijmy od prawdopodobieństwa, że będzie to liczba parzysta. Na trzecim miejscu musi stać parzysta liczba - mamy trzy możliwości. Na drugim może stać dowolna liczba - mamy 5 możliwości (bo losujemy bez zwracania). Na pierwszym miejscu również może stać dowolna liczba - mamy 4 możliwości (bez tych, które już wykorzystaliśmy). Wówczas mamy \(\displaystyle{ 3\cdot4\cdot5 = 60}\) takich możliwości.

Naszą przestrzenią zdarzeń jest wylosowanie bez zwracania 3 liczb, czyli mamy \(\displaystyle{ 6\cdot5\cdot4 = 120}\)możliwości.

No to prawdopodobieństwo, że będzie to liczba parzysta wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)

Spróbuj dalej w podobny sposób - jak się nie uda to pisz. (W drugim przypadku łatwiej policzyć prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego - czyli maksymalnie 1 cyfra należy do zbioru 1, 2, 3. Wówczas na wszystkich trzech miejscach muszą być cyfry różne od 1,2,3, bądź na jednym wylosowanym miejscu musi stać 1,2 lub 3. Potem odejmujesz to prawdop. od jedynki i masz.

[garrincha94]

P(A) - będzie liczba parzysta
P(B) - 2 cyfry będą ze zbioru

Zgodnie ze wzorem
P(\(\displaystyle{ A \cupB}\))=P(A)+P(B)-P(A\(\displaystyle{ \cap}\)B)

P(A) to prawdopodobieństwo, że ostania liczba będzie należeć do zbioru {2,4,6} czyli P(A)=\(\displaystyle{ \frac{3}{6}}\)
P(B) spośród 3 liczb wysimy trafić na 2 ze zbioru {1,2,3} a trzecia może być dowolna czyli P(B)=\(\displaystyle{ \frac{ {3 \choose 2} \cdot 4 }{ 6 \cdot 5 \cdot 4 }= \frac{1}{10}}\)
P(\(\displaystyle{ A\cap B}\)) na ostatnim miejscu musi stać liczba parzysta czyli 2,4 lub 6,
jeśli 2 jest na ostatnim miejscu to na pozostałych dwóch musi być jedna z naszego zbioru a druga dowolna
jeśli 4 to pozostałe dwie muszą należeć do zbioru
jeśli 6 to też pozostałe dwie muszą należeć do zbioru

zatem możliwości mamy \(\displaystyle{ {2 \choose 1} \cdot 4 + {3 \choose 2} + {3 \choose 2} = 14}\) Omega oczywiście bez zmian czyli \(\displaystyle{ 6 \cdot 5 \cdot 4}\). Zabawy z rachunkami nie będę Ci zabierać