Zmienna losowa X ma rozkład(trudniejszy przykład)

[elko]

Nie jestem pewien czy to dobry dział, jeżeli się pomyliłem to zaraz błąd naprawię
Potrzebuję pomocy z tego typu zadaniem. Nie tyle chodź mi o rozwiązanie ale w jaki sposób takie zadania rozwiązać.

Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład normalny \(\displaystyle{ N(1,3)}\). Oblicz:
a) \(\displaystyle{ P \left( \ln \sqrt{ X^{2} +1} >3 \right)}\)
b) \(\displaystyle{ P \left( e ^{\sqrt{ X^{2} +1}} <3 \right)}\)

[janusz47]

\(\displaystyle{ Pr(\ln(\sqrt{X^{2}+1})>3)= 1- Pr(\ln(\sqrt{X^2+1}\leq 3)=...=1-Pr(|X|\leq\sqrt{e^{\frac{3}{2}-1}})= 1-Pr\left(-\sqrt{e^{\frac{3}{2}-1}}\leq X \leq \sqrt{e^{\frac{3}{2}-1}}\right)= 1 -\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\frac{-\sqrt{\frac{3}{2}+1}-1}{3}}^{\frac{\sqrt{\frac{3}{2}+1}-1}{3}}e^{-\frac{t^{2}}{2}}dt = 1- \phi\left(\frac{\sqrt{\frac{3}{2}+1}-1}{3}\right)+ \phi\left(-\frac{\sqrt{\frac{3}{2}+1}-1}{3}\right), t =\frac{x-1}{3}.}\)

[elko]

@kamil13151 Dzięki:) Powiedz mi jeszcze tylko, co to jest rozkład (chi kwadrat) i do czego jest nam potrzebny? Chyba, że to sprowadza się do oczytania wartości z tabelki.
PS. Przeczytałem coś o tym na necie i wnioskuje że to to. Na wykładach nic nie słyszałem o rozkładzie chi kwadrat.

@janusz47 szkoda że ukryłeś to przejście bo mi wyszedł inny wynik, mianowicie:
\(\displaystyle{ P(- \sqrt{e ^{6}-1 } \le X \le \sqrt{e ^{6}-1 })}\)
Możesz mi jeszcze powiedzieć co oznacza \(\displaystyle{ \phi}\)?

[kamil13151]

Oj, z tym \(\displaystyle{ \chi^2}\) to poleciałem za daleko, nie da się wykonać standaryzacji tej zmiennej by otrzymać to co chcemy, przepraszam!

Natomiast janusz47 się pomylił. Masz rację, poprawnie powinno być: \(\displaystyle{ P \left( - \sqrt{e ^{6}-1 } \le X \le \sqrt{e ^{6}-1 } \right)}\). Znak \(\displaystyle{ \phi}\) oznacza dystrybuantę standardowego rozkładu normalnego.

[janusz47]

W każdym razie w tego typu zadaniach wyznaczamy funkcję odwrotną i przeprowadzamy standaryzację.-- 2 lip 2014, o 16:00 --\(\displaystyle{ Pr(\ln(\sqrt{X^{2}+1})>3)= 1- Pr(\ln(\sqrt{X^2+1}\leq 3)=...= 1-Pr\left(-\sqrt{e^{6}-1}\leq X \leq \sqrt{e^{6}-1}\right)= 1- \frac{1}{3\sqrt{2\pi}}\int_{-\sqrt{e^{6}-1}}^{\sqrt{e^{6}-1}}e^{-\frac{(x-1)^2}{2\cdot 3^2}}dx=}\)
Standaryzacja:
\(\displaystyle{ \frac{x-1}{3}=t, dx=3dt}\)
\(\displaystyle{ = 1- \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\frac{\sqrt{e^{6}-1}-1}{3}}^{\frac{\sqrt{e^{6}-1}-1}{3}}e^{-\frac{t^{2}}{2}}dt=1-\phi\left(\frac{\sqrt{e^{6}-1}-1}{3}\right)+\phi\left(-\frac{\sqrt{e^{6}-1}-1}{3}\right).}\)

[elko]

Dzięki wielkie za pomoc