Jakie wzory zastosować do poszczególnych zadań

[stingear]

Witam,
Potrzebuję małej pomocy, a dokładnie nakierowania jakich wzorów mam użyć w poszczególnych zadaniach.
To lista zadań:
1) Ania i Beata zmywają naczynia
Ania jako starsza, zmywa 3 razy więcej niż Beata
Prawdopodobieństwo zbicia szklanki przez Anie wynosi 0,01, a Beaty 0,05.
a)jakie jest prawdopodobieństwo, że szklanka została zbita podczas zmywania
b)szklanka została zbita, jakie jest prawdopodobieństwo, że to Ania

2) W pewnej fabryce produkują elementy ze stratą 3%
Jakie jest prawdopodobieństwo, że w 100 elementowej partii będzie
A)co najmniej jeden felerny element
B)co najwyżej 2 felerne elementy

3) Na egzaminie jest 50 pytań, student zna odpowiedzi na 40 z nich.
Losowane są 4 pytania. Za odpowiedź na 2, dostanie ocenę 3, za odpowiedź na 3 dostanie ocenę 4 , a za odpowiedź na 4 dostanie ocenę 5.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że
A) Student zda egzamin
b) Student otrzyma conajmniej ocenę 4

4) Czas rozwiązania zadania (w minutach) przez grupę studentów charakteryzuje poniższy rozkład:
czas |<0,2)|<2,4)|<4,6)|<6,8)|<8,10)|<10,12)|<12,14)
------+-----+-----+-----+-----+------+-------+-------
liczba| 1 | 10 | 48 | 82 | 46 | 12 | 1
Za pomocą klasycznych i pozycyjnych miar zmiennych oceń zróżnicowanie badanej zbiorowości.
Narysuj diagram rozkładu i wyznacz typowy obszar zmienności.

Nie chodzi mi o podanie rozwiązań, ale o nakierowanie, jak mam to rozwiązać, aby się tego nauczyć?
Dziękuję i pozdrawiam

[chris_f]

W pierwszym:
a) prawdopodobieństwo całkowite
b) twierdzenie Bayesa

W drugim
a) rozkład Poissona z prawdopodobieństwem przeciwnym (tzn. liczymy prawdopodobieństwo, że nie będzie żadnego felernego i odejmujemy od jedynki)
b) rozkład Poissona wprost

W trzecim w obu przypadkach schemat Bernoulli'ego.

W czwartym liczysz średnią, odchylenie standardowe, wtedy współczynnik zmienności obliczasz ze wzoru \(\displaystyle{ V=\frac{s}{\bar{x}}}\) - to będzie według miar klasycznych, albo liczysz medianę i odchylenie ćwiartkowe i współczynnik zmienności pozycyjny liczysz ze wzoru \(\displaystyle{ V=\frac{Q}{Me}}\).

Mam nadzieję, że wiesz co nieco o tych pojęciach.

[stingear]

Proszę o potwierdzenie, czy wyniki są prawidłowe:
Dla 1a: prawdopodobieństwo wynosi \(\displaystyle{ 0,02}\)
Dla 1b: prawdopodobieństwo wynosi \(\displaystyle{ 0,375}\)
Dla 2a: prawdopodobieństwo wynosił \(\displaystyle{ 0,95}\)
Dla 2b: prawdopodobieństwo wynosi \(\displaystyle{ 0,00675}\)
(liczę prawdopodobieństwo niewystąpienia * prawdopodobieństwo wystąpienia 1 * prawdopodobieństwo wystąpienia 2 =\(\displaystyle{ 0,005 \cdot 0,15 \cdot 0,9 = 0,00675}\) =>tu nie jestem pewien czy prawidłowo zastosowałem mnożenie)
Dla 3a: prawdopodobieństwo wynosi \(\displaystyle{ \frac{608}{625}}\)
Dla 3b: Prawdopodobieństwo wynosi \(\displaystyle{ \frac{512}{625}}\)
Z góry dziękuję za odpowiedź.
Pozdrawiam.

[leszczu450]

stingear, przedstaw swoje obliczenia. Wątpię żeby ktoś to wszystko wyliczył : ) Zacznij od pierwszego. Pokaż jak liczysz.

[stingear]

1.
Ania zmywa \(\displaystyle{ \frac{3}{4} = 0,75}\)
Prawdopodobieństwo zbicia: \(\displaystyle{ 0,01 = \frac{1}{100}}\)
Beata zmywa \(\displaystyle{ \frac{1}{4} = 0,25}\)
Prawdopodobieństwo zbicia: \(\displaystyle{ 0,05 = \frac{5}{100}}\)
A)Podstawiam pod wzór prawdopodobieństwa całkowitego:
\(\displaystyle{ P \left( A \right) = P \left( A|B_{1} \right) \cdot P \left( B_{1} \right) + P \left( A|B_{2} \right) \cdot P \left( B_{2} \right)}\)
\(\displaystyle{ P \left( A|B_{1} \right) = \frac{1}{100}}\)
\(\displaystyle{ P \left( B_{1} \right) = \frac{3}{4}}\)
\(\displaystyle{ P \left( A|B_{2} \right) = \frac{5}{100}}\)
\(\displaystyle{ P \left( B_{2} \right) = \frac{1}{4}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{100} \cdot \frac{3}{4} + \frac{5}{100} \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{400} + \frac{5}{400} = \frac{8}{400} = \frac{2}{100} = 0,02}\)
B)Podstawiam pod wzór twierdzenia Bayesa:
\(\displaystyle{ P \left( B_{n}|A \right) = \frac{P \left( A|B_{n} \right) \cdot P \left( B_{n} \right) }{P \left( A \right) }}\)
\(\displaystyle{ P \left( A \right) = 0,02}\)
\(\displaystyle{ B_{1} = 0,25}\)
\(\displaystyle{ B_{2} = 0,75}\)
\(\displaystyle{ P \left( B_{1} \right) = 0,25}\)
\(\displaystyle{ P \left( B_{2} = 0,75}\)
\(\displaystyle{ P \left( A|B_{1} \right) = 0,05}\)
\(\displaystyle{ P \left( A|B_{2} \right) = 0,01}\)
Pytanie dotyczy ani, więc \(\displaystyle{ B_{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{0,01 \cdot 0,75}{0,02} = \frac{0,0075}{0,02} = 0,375}\)

[robertm19]

Nie sprawdzałem obliczeń, wzory wyglądają dobrze.

[stingear]

2.
Wzór Poissona:
h = λ (we wzorze daje puste, dlatego dałem h)
\(\displaystyle{ f \left( k,h \right) = \frac{h^{k} \cdot e^{-h}}{k!}}\)
\(\displaystyle{ e = 2,72}\)
\(\displaystyle{ h = 100 \cdot 0,03 = 3}\)
A)
\(\displaystyle{ k = 0}\)
\(\displaystyle{ f \left( 0,3 \right) = \frac{3^{0} \cdot 2,72^{-3}}{0!} = 0,05}\)
niewystąpienie: \(\displaystyle{ f \left( 0,3 \right) = 0,05}\)
odejmuję od 1: \(\displaystyle{ 1 - 0,05 = 0,95}\)
Prawdopodobieństwo wynosi \(\displaystyle{ 0,95}\)
B)
\(\displaystyle{ k = 0}\)
\(\displaystyle{ f \left( 0,3 \right) = \frac{3^{0} \cdot 2,72^{-3}}{0!} = 0,05}\)
\(\displaystyle{ k = 1}\)
\(\displaystyle{ f \left( 1,3 \right) = \frac{3^{1} \cdot 2,72^{-3}}{1!} = 0,15}\)
\(\displaystyle{ k = 2}\)
\(\displaystyle{ f \left( 2,3 \right) = \frac{3^{2} \cdot 2,72^{-3}}{2!} = 0,9}\)
Mnożę prawdopodobieństwo niewystąpienia, wystąpienia 1 oraz 2 felernych sztuk:
\(\displaystyle{ 0,05 \cdot 0,15 \cdot 0,9 = 0,00675}\)
Prawdopodobieństwo wynosi \(\displaystyle{ 0,00675}\)

-- 3 lip 2014, o 22:05 --

3.
schemat Bernoulli'ego
\(\displaystyle{ P_{n} \left( k \right) = \left( ^{n}_{k} \right) \cdot p^{k} \cdot q^{n - k}}\)
\(\displaystyle{ \left( ^{n}_{k} \right) = \frac{n!}{ \left( n-k \right) ! \cdot k!}}\)
\(\displaystyle{ p = \frac{4}{5}}\)
\(\displaystyle{ q = \frac{1}{5}}\)
\(\displaystyle{ n = 4}\)
\(\displaystyle{ k = 2}\)
\(\displaystyle{ \left( ^{4}_{2} \right) = 6}\)
\(\displaystyle{ k = 3}\)
\(\displaystyle{ \left( ^{4}_{3} \right) = 4}\)
\(\displaystyle{ k = 4}\)
\(\displaystyle{ \left( ^{4}_{4} \right) = 1}\)
\(\displaystyle{ P_{4} \left( 2 \right) = 6 \cdot \left( \frac{4}{5} \right) ^{2} \cdot \left( \frac{1}{5} \right) ^{2} = \frac{96}{625}}\)
\(\displaystyle{ P_{4} \left( 3 \right) = 4 \cdot \left( \frac{4}{5} \right) ^{3} \cdot \left( \frac{1}{5} \right) ^{1} = \frac{256}{625}}\)
\(\displaystyle{ P_{4} \left( 4 \right) = 1 \cdot \left( \frac{4}{5} \right) ^{4} \cdot \left( \frac{1}{5} \right) ^{0} = \frac{256}{625}}\)
A)
\(\displaystyle{ \frac{96}{625} + \frac{256}{625} + \frac{256}{625} = \frac{608}{625}}\)
Prawdopodobieństwo zdania wynosi \(\displaystyle{ \frac{608}{625}}\)
B)
\(\displaystyle{ P_{4} \left( 3 \right) = 4 \cdot \left( \frac{4}{5} \right) ^{3} \cdot \left( \frac{1}{5} \right) ^{1} = \frac{256}{625}}\)
\(\displaystyle{ P_{4} \left( 4 \right) = 1 \cdot \left( \frac{4}{5} \right) ^{4} \cdot \left( \frac{1}{5} \right) ^{0} = \frac{256}{625}}\)
\(\displaystyle{ \frac{256}{625} + \frac{256}{625} = \frac{512}{625}}\)
Prawdopodobieństwo otrzymania conajmniej 4 wynosi \(\displaystyle{ \frac{512}{625}}\)