Z odcinka losujemy dwie liczby

[leszczu450]

Cześć !

Nie wiem jak poradzić sobie z takim zadaniem:

Z odcinka \(\displaystyle{ [0,2]}\) losujemy dwie liczby \(\displaystyle{ X, Y}\). Wyznaczyć gęstość rozkładu zmiennej \(\displaystyle{ Z= \max\left\{ X,Y\right\}}\).

Macie na to jakiś pomysł ?

[miodzio1988]

Mamy, rozpisz sobie ten warunek na maksimum

[leszczu450]

miodzio1988, zrobiłem to w ten sposób:

\(\displaystyle{ F_Z(t)= P(Z \le t)= P(\max\left\{ X,Y\right\}\le t )= P(X \le t) \cdot P(Y \le t)=F_X(t) \cdot F_Y(t)}\)

Teraz zauważam, że dowolne losowanie liczby z przedziału \(\displaystyle{ \left[ 0,2\right]}\) odpowiada rozkładowi jednostajnemu \(\displaystyle{ \mathcal{U}\left( 0,2\right)}\). Co więcej losowanie liczby \(\displaystyle{ X}\) niczym nie różni się od losowanie liczby \(\displaystyle{ Y}\). zatem dystrybuanta zmiennej \(\displaystyle{ X}\) jest taka sama ja dystrybuanta zmiennej \(\displaystyle{ Y}\). Stąd :

\(\displaystyle{ F_Z(t)= P(Z le t)= P(maxleft{ X,Y
ight}le t )= P(X le t) cdot P(Y le t)= \ =F_X(t) cdot F_Y(t)=left( F_X(t)
ight)^2= egin{cases} 0 quad t<0 \ frac{t^2}{4} quad t in left[ 0,2
ight) \ 1 quad t ge 2 end{cases}}\)


Teraz wystarczy, że zróżniczkuję dystrybuantę i otrzymuję gęstość. Mam zatem, że:

\(\displaystyle{ f_Z (t)= \frac{1}{2}t}\) dla \(\displaystyle{ t in left[ 0,2
ight)}\).

Czy wszystko jest dobrze zapisane i czy wynik jest OK ?

[robertm19]

Tak jest ok.

[kropka+]

Dlaczego nawias zwykły w przedziale ?

[norwimaj]

Dlaczego nawias zwykły w przedziale ?

Widocznie tak się wylosowało, a na szczęście nie ma to żadnego znaczenia dla poprawności.