Wyznacz dystrybuantę

[leszczu450]

Cześć !

Zadanie:

Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład o dystrybuancie :

\(\displaystyle{ F_X(t)= egin{cases} 0 quad t <0 \ frac12t quad t in left[ 0,2
ight) \ 1 quad t ge 2 end{cases}}\)

wyznaczy dystrybuantę zmiennej losowej \(\displaystyle{ Z= \min\left( X,X^2\right)}\)

Liczę więc:

\(\displaystyle{ F_Z(t)=P(Z \ge t)= 1 - P(Z >t)= 1 - P(\min(X,X^2)>t)= \\ = 1 - P(X>t \wedge X^2 >t) = 1- P(X>t) \cdot P(X^2 >t)= \\ = 1 - \left( 1-P(X \le t)\right) \cdot \left( 1- P(X^2 \le t)\right)}\)

Nie wiem co mam teraz zrobić. Proszę o pomoc : )

[robertm19]

Nie możesz tego tak zrobić
\(\displaystyle{ P(X>t \wedge X^2 >t)=P(X>t) \cdot P(X^2 >t)}\).

Najlepiej wyznacz przekrój zbioru \(\displaystyle{ X>t}\) i \(\displaystyle{ X^2>t}\).

[leszczu450]

robertm19, a dlaczego tak nie mogę rozbić ? Bo te zmienne losowe nie są niezależne ?

[robertm19]

Dokładnie. Jak wyznaczysz zbiór do którego X należy to wykorzystujesz dystrybuantę X do policzenia prawdopowdobieństwa.

[leszczu450]

robertm19, ale jak mam znaleźć ten przekrój ? Nie wiem jak mam traktować zapis \(\displaystyle{ X>t, X^2 >t}\) w kwestii wyznaczania wspólnej części.

[robertm19]

\(\displaystyle{ P(X>t, X^2>t)=P(X>t, \sqrt{t}<X, X<-\sqrt{t})=...}\).
Sprawdź kiedy \(\displaystyle{ t>\sqrt{t}}\)
Zaznaczam od razu, że przecinki w takim zapisie oznaczają koniunkcję.

[leszczu450]

robertm19, \(\displaystyle{ t> \sqrt{t}}\) dla \(\displaystyle{ t >1}\). Ale dlaczego akurat taką nierównośc rozpatrujemy ?

[robertm19]

Bo twoja dystrybuanta jest od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ 2}\). Zatem będą dwa przypadki w zależności czy \(\displaystyle{ t>1}\) lub \(\displaystyle{ t<1}\).
Czyli masz już ten zbiór dla \(\displaystyle{ t>1}\)? Bo idę spać:D

[leszczu450]

robertm19, ale dlaczego moja dystrybuanta jest od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ 2}\) ?