Niech \(\displaystyle{ U=min(X,Y), \ V=min(X,Y)}\), gdzie X i Y są niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie geometrycznym z parametrem p \(\displaystyle{ P(X=k)=p(1-p)^{k-1}}\). Sprawdzić cze zmienne losowe U i V-U sa niezależne.
i robię tak:
\(\displaystyle{ P(U=k)=P\left( min(X,Y)=k\right)=P\left( X<Y \wedge X=k \right) + P\left( Y<X \wedge Y=k \right) +P\left( X=Y \wedge X=k \right) = \\
2P\left( Y<X \wedge Y=k\right)+P\left( X=k\right) P\left( Y=k\right) = \\
2P\left( X>k \wedge Y=k\right)+P\left( X=k\right) P\left( Y=k\right)= \\
2P\left( X>k \right)P\left( Y=k \right) +P\left( X=k\right) P\left( Y=k\right)\\
2(1-P\left( X \le k \right)P\left( Y=k \right) +P\left( X=k\right) P\left( Y=k\right)\\
2(1- \sum_{j=1}^{k}p(1-p)^{j-1}) p(1-p)^{k-1}+\left( p(1-p)^{k-1}\right) ^2}\)
teraz rozkład drugiego
\(\displaystyle{ P\left( V-U=k)\right) =P\left( max(X,Y)-min(X,Y)=k\right)= \\
P\left( X<Y \wedge Y-X=k \right) + P\left( Y<X \wedge X-Y=k \right)+P\left( X+Y \wedge X-X=k\right)= \\
2P\left( X<Y \wedge Y-X=k \right)=}\)
i tu nie wiem co dalej z tym zrobić, proszę o pomoc
Zbadać niezależność zmiennych
-
- Użytkownik
- Posty: 1847
- Rejestracja: 8 lip 2008, o 21:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Staszów/Warszawa
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 378 razy
Zbadać niezależność zmiennych
Wyznaczanie rozkładów chyba w tym zadaniu nie ma senć czy su. Może spróbować obliczyć kowariancję? Zobaczyć czy jest różna od zera. Wydaje się to łatwiejsze.
-
- Użytkownik
- Posty: 1847
- Rejestracja: 8 lip 2008, o 21:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Staszów/Warszawa
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 378 razy
Zbadać niezależność zmiennych
To w takim razie spróbuj wyznaczyć rozkład Y-X w ten sposób:
\(\displaystyle{ P(X=1)P(Y=k+1)+ P(X=2)P(Y=k+2)+P(X=3)P(Y=k+3)+....}\)
\(\displaystyle{ P(X=1)P(Y=k+1)+ P(X=2)P(Y=k+2)+P(X=3)P(Y=k+3)+....}\)