Zbadać niezależność zmiennych

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
aqlec
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 136
Rejestracja: 10 paź 2012, o 20:26
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: kraków
Podziękował: 85 razy
Pomógł: 1 raz

Zbadać niezależność zmiennych

Post autor: aqlec »

Niech \(\displaystyle{ U=min(X,Y), \ V=min(X,Y)}\), gdzie X i Y są niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie geometrycznym z parametrem p \(\displaystyle{ P(X=k)=p(1-p)^{k-1}}\). Sprawdzić cze zmienne losowe U i V-U sa niezależne.

i robię tak:

\(\displaystyle{ P(U=k)=P\left( min(X,Y)=k\right)=P\left( X<Y \wedge X=k \right) + P\left( Y<X \wedge Y=k \right) +P\left( X=Y \wedge X=k \right) = \\
2P\left( Y<X \wedge Y=k\right)+P\left( X=k\right) P\left( Y=k\right) = \\
2P\left( X>k \wedge Y=k\right)+P\left( X=k\right) P\left( Y=k\right)= \\
2P\left( X>k \right)P\left( Y=k \right) +P\left( X=k\right) P\left( Y=k\right)\\
2(1-P\left( X \le k \right)P\left( Y=k \right) +P\left( X=k\right) P\left( Y=k\right)\\
2(1- \sum_{j=1}^{k}p(1-p)^{j-1}) p(1-p)^{k-1}+\left( p(1-p)^{k-1}\right) ^2}\)


teraz rozkład drugiego

\(\displaystyle{ P\left( V-U=k)\right) =P\left( max(X,Y)-min(X,Y)=k\right)= \\
P\left( X<Y \wedge Y-X=k \right) + P\left( Y<X \wedge X-Y=k \right)+P\left( X+Y \wedge X-X=k\right)= \\
2P\left( X<Y \wedge Y-X=k \right)=}\)


i tu nie wiem co dalej z tym zrobić, proszę o pomoc
Ostatnio zmieniony 27 cze 2014, o 00:25 przez aqlec, łącznie zmieniany 1 raz.
robertm19
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1847
Rejestracja: 8 lip 2008, o 21:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów/Warszawa
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 378 razy

Zbadać niezależność zmiennych

Post autor: robertm19 »

Wyznaczanie rozkładów chyba w tym zadaniu nie ma senć czy su. Może spróbować obliczyć kowariancję? Zobaczyć czy jest różna od zera. Wydaje się to łatwiejsze.
aqlec
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 136
Rejestracja: 10 paź 2012, o 20:26
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: kraków
Podziękował: 85 razy
Pomógł: 1 raz

Zbadać niezależność zmiennych

Post autor: aqlec »

Tylko właśnie to zadanie jest do działu w którym jeszcze nie braliśmy kowariancji
robertm19
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1847
Rejestracja: 8 lip 2008, o 21:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów/Warszawa
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 378 razy

Zbadać niezależność zmiennych

Post autor: robertm19 »

To w takim razie spróbuj wyznaczyć rozkład Y-X w ten sposób:
\(\displaystyle{ P(X=1)P(Y=k+1)+ P(X=2)P(Y=k+2)+P(X=3)P(Y=k+3)+....}\)
ODPOWIEDZ