Znaleźć rozkład zmiennej losowej

[leszczu450]

Cześć!

Tak jak w temacie:

Niech \(\displaystyle{ X \sim \mathcal{U}(0,1)}\). Znaleźć rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y=\ln X}\).

Z góry dziękuję za pomoc.

[Jytug]

Jeżeli \(\displaystyle{ X}\) ma gęstość \(\displaystyle{ g}\) i \(\displaystyle{ X(\Omega) \subset (a,b)}\), to dla funkcji różnowartościowej i różniczkowalnej w sposób ciągły \(\displaystyle{ \phi}\) zmienna \(\displaystyle{ \phi(X)}\) ma rozkład z gęstością \(\displaystyle{ f(x) = g(\phi^{-1})\left|\frac{d}{dx}\phi^{-1}(x)\right|\textbf{1}_{\phi(a,b)}}\)

Dowód tego to zastosowanie podstawienia \(\displaystyle{ \phi(x) = u}\) przy obliczaniu dystrybuanty zmiennej \(\displaystyle{ \phi(X)}\)

[leszczu450]

Jytug, kompletnie nie rozumiem o czym do mnie mówisz : ) Możemy zacząć od początku ? Od samego samego początku ? : )

[yorgin]

Liczymy dystrybuantę \(\displaystyle{ Y}\):

\(\displaystyle{ F_Y(t)=P(Y\leq t)=P(\ln X\leq t)=P(X\leq e^t)=\int_{-\infty}^{e^t}\chi_{[0,1]}(x)\dd x=\ldots}\)

reszta to zwykłe rachunki.

[leszczu450]

yorgin, a dlaczego zawsze, gdy mam wyliczyć rozkład, to zaczynam od dystrybuanty? Jak jedno powiązane jest z drugim?

[yorgin]

Nie zawsze. Tak jest po prostu wygodniej i łatwej liczyć, niż pchać z pamięci wzorki na nowe gęstości gdy znane są stare gęstości.

Dystrybuanta to przecałkowana gęstość, to jest oczywiste.

[leszczu450]

yorgin, niestety z wikipedii i z tego, co wyczytałem w książce kompletnie nie rozumiem czym jest dystrybuanta. Poza tym, że to przecałkowana gęstość w odpowiednich granicach. Mógłbyś mi to jakoś wyjaśnić? : )

[luka52]

leszczu450, chcesz powiedzieć, że nawet patrząc na wzór: \(\displaystyle{ F_Y(t)=P(Y\leq t)}\) nie jesteś w stanie powiedzieć co on oznacza? :/

[leszczu450]

luka52, tak intuicyjnie to rozumiem to tak: dystrybuanta zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y}\) to prawdopodobieństwo, że zmienna losowa przyjmie wartość nie większą niż \(\displaystyle{ t}\) dla jakiegoś \(\displaystyle{ t >0}\).

Ale nie wiem po co mi to jest? I w czym jest to niby lepsze?

[kamil13151]

... dla jakiegoś \(\displaystyle{ t >0}\).

Dlaczego tak uważasz? Zmienna losowa nie może przyjąć ujemnej wartości?

Dystrybuanta jednoznacznie wyznacza rozkład zmiennej losowej.

[leszczu450]

kamil13151, no masz rację. \(\displaystyle{ t}\) jest dowolne. Ale co do drugiej części. Piszesz, że dystrybuanta jednoznacznie wyznacza rozkład. Czyli jak mam dystrybuantę danej zmiennej losowej, to mogę wyliczyć rozkład tej zmiennej losowej. Ale jak to zrobić ?

[kamil13151]

Dystrybuanta to przecałkowana gęstość, to jest oczywiste.

[leszczu450]

kamil13151, no to wiem. Mam więc, że \(\displaystyle{ F_Y(t)=F_X(e^t)= \int_{-\infty}^{e^t}\chi_{\left[ 0,1\right] }(x)\dd{x}}\).

Przyznam szczerze, że nie wiem jak mam obliczyć taką całkę. Przeglądam wiele tematów na forum i widzę, że często ludzie dzielą granice całkowania na wiele przedziałów. Nie wiem dlaczego. Wiem już, że jak wyznaczę dystrybuantę, to po zróżniczkowaniu jej mam jej gęstość czyli rozkład.

[luka52]

leszczu450, skoro masz policzyć pochodną \(\displaystyle{ F'}\) to czy w ogóle musisz liczyć całkę?

Ukryta treść:    

Można, ale nie trzeba

[leszczu450]

luka52, eh.. To już nic nie rozumiem. Wszystko mi się pomieszało. Gubię się w tych pojęciach. Możemy zacząć od samego początku ? Chciałbym ruszyć dalej z zadaniami, a od kilku godzin siedzę przy tym jednym.