Rozkład zmiennej losowej

[leszczu450]

Cześć !

Kompletnie nie wiem, jak poradzić sobie z takim zadaniem.

Promień koła jest zmienną losową \(\displaystyle{ R \sim \mathcal{E}(1)}\). Wyznaczyć rozkład pola koła.

Niestety kompletnie nie wiem jak to zrobić. Problem mam nawet ze zrozumieniem zapisu. Proszę o pomoc.

Z góry dziękuję.

[Adifek]

\(\displaystyle{ R \sim e^{-x}, x>0}\)

Zmienna losowa oznaczające pole, to będzie \(\displaystyle{ \pi R^2}\). Policzymy jej dystrybuantę. Dla \(\displaystyle{ t>0}\):

\(\displaystyle{ P(\pi R^2<t) = P(R < \sqrt{t} \slash \pi ) = 1- e^{-\sqrt{t} \slash \pi}}\)

[leszczu450]

Adifek, spokojnie. Skąd w ogóle wzięła się pierwsza linijka ? Co to znaczy \(\displaystyle{ R \sim \mathcal{E}(1)}\) ?

[Adifek]

To znaczy, że zmienna ma rozkład wykładniczy z intensywnością/średnia (uwaga! są dwie konwencje) \(\displaystyle{ 1}\).

[leszczu450]

Adifek, a co to oznacza, że zmienna ma rozkład wykładniczy z intensywnością \(\displaystyle{ 1}\) ? To znaczy, że jak narysuje sobie \(\displaystyle{ y=e^{-x}}\) dla \(\displaystyle{ x >0}\) to on mi pokazuje jak zmienia się prawdopodobieństwo danego zdarzenia ?

[Adifek]

To jest jej gęstość względem miary Lebesgue'a na prostej.

[leszczu450]

Adifek, hmm trochę jestem niewykształcony w tym temacie. Muszę o tym więcej poczytać. Czyli rozkład zmiennej losowej to jest całka po gęstości danej zmiennej losowej względem miary Lebesgue'a ?

[Adifek]

Tak.

[leszczu450]

Adifek, to jeszcze raz od początku. Na samym początku mam zmienną losową mówiącą mi o długości promienia koła. Okazuje się, że długość promienia koła wyznaczona jest przez rozkład wykładniczy. Funckja \(\displaystyle{ g(x)=e^{-x}, \quad x >0}\) mówi o tym, z jakim prawdopodobieństwem otrzymamy dany promień. Teraz określam sobie nową zmienną losową \(\displaystyle{ Y}\) mówiącą o polu koła. Czyli prawdą będzie jeśli powiem, że rozkład zmiennej losowej wyznacza gęstośc i na odwrót- gęstość wyznacza mi rozkład?

[Adifek]

Tak i miałeś to na wykładzie (po warunkiem, że gęstość istnieje)

[leszczu450]

Adifek, ok to już sporo za mną! Teraz dalej. Wiem, że dystrybuanta to prawdopodobieństwo, że zmienna losowa przyjmie wartość mniejszą od \(\displaystyle{ t>0}\). Ale dlaczego, że w ogóle liczymy tutaj dystrybuantę ?

[Adifek]

Dystrybuanta jednoznacznie wyznacza rozkład.

[leszczu450]

Adifek, czyli jak ktoś mnie prosi o wyznaczenie rozkładu, to ja mam wyznaczyć dystrybuantę tego rozkładu ?

[Adifek]

Dystrybuantę/ gęstość(jesli istnieje)/ rozkład/ funkcję charakterystyczną

[leszczu450]

Adifek, no to my wyznaczyliśmy póki co tylko dystrybuantę zmiennej losowej mówiącej o polu koła. Teraz muszę wyznaczyć gęstość, rozkład i funkcję charakterystyczną? Czy wystarczy podanie samej dystrybuanty ?

-- 26 cze 2014, o 11:32 --

Adifek, czy przypadkiem nie popełniłeś małego błędu?

Jeśli oznaczę zmienną losową mówiącą o polu koła przez \(\displaystyle{ Y}\), to mam, że \(\displaystyle{ Y= \pi R^2}\), gdzie \(\displaystyle{ R}\) to zmienna losowa mówiąca o długości promienia koła. Policzmy zatem dystrybuantę zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y}\)

\(\displaystyle{ F_{Y} \left( t \right) =P \left( Y <t \right) = P \left( \pi R^2 <t \right) = P \left( R< \sqrt{ \frac{t}{\pi} } \right) = \int_{- \infty}^{ \sqrt{ \frac{t}{\pi} } }e^{-x}\dd{x}= \\ = \ldots}\)

?

-- 26 cze 2014, o 13:00 --

Aaa! Już widzę. Wszystko robimy dla \(\displaystyle{ x >0}\) więc całkę mam tak naprawdę od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{t}{\pi} }}\) i mam:

\(\displaystyle{ F_{Y} \left( t \right) =P \left( Y <t \right) = P \left( \pi R^2 <t \right) = P \left( R< \sqrt{ \frac{t}{\pi} } \right) = \int_{- \infty}^{ \sqrt{ \frac{t}{\pi} } }e^{-x}\dd{x}= \int_0^{ \sqrt{ \frac{t}{\pi}}} e^{-x}\dd{x}= -e^{-\sqrt{ \frac{t}{\pi}}} + 1 = 1 - e^{-\sqrt{ \frac{t}{\pi}}}\)-- 26 cze 2014, o 13:27 --I teraz korzystam z tego, że \(\displaystyle{ F_Y(t)= \int f_Y(t)\dd{t}}\).

Czyli \(\displaystyle{ f_Y(t)= \left( F_Y(t)\right)' = e^{- \sqrt{ \frac{t}{\pi} } } \cdot \left( - \frac{1}{2 \sqrt{ \frac{t}{\pi} } } \right) \cdot \frac{1}{\pi}}\)

Czy o to tutaj chodzi? Czy w takim razie wyznaczenie rozkładu to tak naprawdę wyznaczenie gęstości rozkładu ?