sprawiedliwa gra

[21mat]

Mamy grę: rzucamy kostką do chwili uzyskania pierwszej "szóstki" i otrzymamy wygraną w wysokości \(\displaystyle{ (n-1)}\)zł gdy pierwsza "szóstka" pojawi się w n-tym rzucie. Jaka ma być opłata za grę, aby wartość oczekiwana wynosiła zero?

[kerajs]

\(\displaystyle{ x _{i}}\) - wartość wygranej w i-tym rzucie

\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x _{i} & 0 & 1 & 2 & 3 & ... &n & ... \\ \hline
p _{i} & p _{1} & p _{2} & p _{3} & p _{4} & ... & p _{n} & ... \\ \hline
\end{tabular}}\)
Sorry, ale tabelka nie zaakceptowała ułamków w zapisie
\(\displaystyle{ p _{1}= \frac{1}{6}}\)
\(\displaystyle{ p _{2}= \frac{1}{6} \frac{5}{6}}\)
\(\displaystyle{ p _{3} =\left[ \frac{5}{6}\right]^2 \frac{1}{6}}\)
\(\displaystyle{ p _{4} =\left[ \frac{5}{6}\right]^3 \frac{1}{6}}\)
....
\(\displaystyle{ p _{n}=\left[ \frac{5}{6}\right]^n \frac{1}{6}}\)
....


\(\displaystyle{ E\left( x\right)=0 \cdot p _{1}+1 \cdot p _{2}+ 2 \cdot p _{3}+ 3 \cdot p _{4}+...+ n \cdot p _{n}=\frac{1}{6} \left( \frac{5}{6}+2\left[ \frac{5}{6}\right]^2+3\left[ \frac{5}{6}\right]^3+...n\left[ \frac{5}{6}\right]^n +....\right)=}\)
\(\displaystyle{ = \frac{1}{6}\left( \left[ \frac{5}{6}+\left[ \frac{5}{6}\right]^2+\left[ \frac{5}{6}\right]^3+.....\right] +\left[ \left[ \frac{5}{6}\right]^2+\left[ \frac{5}{6}\right]^3+.....\right] +\left[ \left[ \frac{5}{6}\right]^3+.....\right] +.......\right)=}\)
\(\displaystyle{ = \frac{1}{6} \left( \frac{ \frac{5}{6} }{1- \frac{5}{6} }+ \frac{ \left( \frac{5}{6}\right)^2 }{1- \frac{5}{6} }+ \frac{ \left( \frac{5}{6}\right) ^3 }{1- \frac{5}{6} }+...\right) = \frac{1}{6} \frac{6}{1} \left[ \frac{5}{6}+\left[ \frac{5}{6}\right]^2+\left[ \frac{5}{6}\right]^3+...\right] =\frac{ \frac{5}{6} }{1- \frac{5}{6} }=5}\)

Aby gra była sprawiedliwa to opłata za jedną grę powinna wynosić 5 zł.

[21mat]

Tyle miało wyjść. Dzięki za pomoc.