dowód nierówności

[21mat]

Wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ P(0<X<1)=1}\) to \(\displaystyle{ Var(X)<E(X)}\). Jakieś wskazówki?

[szw1710]

Zauważ, że wtedy z prawdopodobieństwem 1 mamy nierówność \(\displaystyle{ X^2\le X}\). Skorzystaj ze wzoru \(\displaystyle{ \text{Var}(X)=E(X^2)-(EX)^2}\) i połącz to z faktem, że wartość oczekiwana to całka Stieltjesa względem dystrybuanty: \(\displaystyle{ EY=\int_{\Omega} \omega\dd F_Y}\), gdzie \(\displaystyle{ F_Y}\) to dystrybuanta zmiennej \(\displaystyle{ Y}\). Masz więc \(\displaystyle{ E(X^2)=\int_{\Omega}\omega^2\dd F_X}\). Skorzystaj z tego, że całka jest monotoniczna i \(\displaystyle{ \omega^2\le\omega}\) z prawdopodobieństwem 1.

Moje rozumowanie obejmuje i zmienne losowe ciągłe, i skokowe. To samo możesz jednak zrobić w przypadku ciągłym stosując zwykłą funkcję gęstości - jeśli te całki Stieltjesa Ci nie leżą. Rozumowanie jest analogiczne.