Rozkład prawdopodobieństwa

[Unknown133]

W miare możliwości proszę o rozwiązania poniższych zadań. Nawet jedno rozwiązane zadanie będzie mile widziane.

1. Uczeń czyta książke średnio w 2 godziny. Odchylenie standardowe wynosi 0,1 godziny. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że łączny czas czytania 200 książek mieści się w przedziale od 390 do 410.
2. Znaleść rozkład prawdopowobieństwa losowej ilości kul ielonych przy losowaniu trzech kul z urny zawierającej 4 kule zielone na 36 wszystkich. Wyznacz dystrybuante rozkładu.


1. Firma produkująca przeciętnie 97% dobrych monitorów, wyprodukowała 300 monitorów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że liczba uszkodzonych monitorów wśród wyprodukowanych będzie mniejsza od 11?
2. Dla rozkładu gęstości prawdopodobieństwa

Kod: Zaznacz cały

                y+1 dla 0<=x<=1, 0<=y<=1
    f(x,y)= 
                0 dla pozostałych

wyznaczyć wartości średnie x, y.

[chris_f]

Zad. 2. z zestawu pierwszego.
Przestrzeń zdarzeń \(\displaystyle{ \bar{\bar{\Omega}}=C^3_{36}={36\choose3}=\frac{36!}{3!\cdot33!}=\frac{34\cdot35\cdot36}{6}=7140}\)
Możliwe wyniki (wartości zdarzenia losowego) to odpowiednio \(\displaystyle{ 0,1,2,3}\) zielonych kul w tych trzech wylosowanych.
Obliczamy prawdopodobieństwa tych zdarzeń:
\(\displaystyle{ x=0}\) wtedy mamy liczbę zdarzeń sprzyjających \(\displaystyle{ \bar{\bar{A_0}}=C^3_{32}=\frac{32!}{2\cdot3\cdot29!}=\frac{30\cdot31\cdot32}{6}=4960}\) i \(\displaystyle{ P(A_0)=\frac{4960}{7140}}\)
\(\displaystyle{ x=1}\) wtedy mamy liczbę zdarzeń sprzyjających \(\displaystyle{ \bar{\bar{A_1}}=C^2_{32}\cdot C^1_4=\frac{32!}{2\cdot30!}\cdot4=\frac{31\cdot32}{2}\cdot4=1984}\) i \(\displaystyle{ P(A_1)=\frac{1984}{7140}}\)
\(\displaystyle{ x=2}\) wtedy mamy liczbę zdarzeń sprzyjających \(\displaystyle{ \bar{\bar{A_2}}=C^1_{32}\cdot C^2_4=32\cdot\frac{4\cdot3}{2}=192}\) i \(\displaystyle{ P(A_2)=\frac{192}{7140}}\)
\(\displaystyle{ x=3}\) wtedy mamy liczbę zdarzeń sprzyjających \(\displaystyle{ \bar{\bar{A_3}}=C^3_4=4}\) i \(\displaystyle{ P(A_3)=\frac{4}{7140}}\)
Rozkład prawdopodobieństwa możemy zapisać w tabelce
\(\displaystyle{ \begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline
x_i&0&1&2&3\\ \hline
p_i&\frac{4960}{7140}&\frac{1984}{7140}&\frac{192}{7140}&\frac{4}{7140}\\ \hline\end{array}}\)
No i liczymy dystrybuantę
\(\displaystyle{ F(x)=\begin{cases}
0\ {\rm dla}\ x<0\\
\frac{4960}{7140}\ {\rm dla}\ 0\le x<1\\
\frac{6944}{7140}\ {\rm dla}\ 1\le x<2\\
\frac{7136}{7140}\ {\rm dla}\ 2\le x<3\\
1\ {\rm dla}\ 3\le x\end{cases}}\)
Zadanie 1 z drugiego zestawu.
Skorzystamy tu z rozkładu Poissona (próba duża, prawdopodobieństwo małe).
Obliczamy \(\displaystyle{ \lambda=300\cdot0,03=9}\)
Interesuje nas prawdopodobieństwo
\(\displaystyle{ P_{k<11}=P_0+P_1+...+P_{10}}\)
Wartości \(\displaystyle{ P_0,P_1,...,P_{10}}\) odczytujemy z tablic rozkładu Poissona dla \(\displaystyle{ \lambda=9}\) (_ ... ps_wir.pdf) albo robimy to w arkuszu kalkulacyjnym. Dostaniemy

Stąd też szukane prawdopodobieństwo wynosi
\(\displaystyle{ P_{k<11}=0,7059883}\)

W pierwszym z pierwszego znormalizuj rozkład do rozkładu \(\displaystyle{ N(0,1)}\) i odczytaj odpowiednie wartości z tablic rozkładu normalnego.

W drugim z drugiego narysuj sobie tę sytuację, policz prawdopodobieństwa brzegowe i średnie.