Witam,
Mam problem z rozwiązaniem poniższego zadania:
Dokonano pomiaru zanieczyszczenia próbek powietrza pobranych nad kominem elektrociepłowni. Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie wielkością zanieczyszczenia próbki pobranej przy wyłączonym urządzeniu filtrującym. Przez \(\displaystyle{ Y}\) oznaczmy natomiast wielkość zanieczyszczenia próbki pobranej przy włączonym urządzeniu filtrującym. Stwierdzono, że \(\displaystyle{ X}\) jest zawsze większe od \(\displaystyle{ 2Y}\). Przeprowadzone obserwacje pozwalają na stwierdzenie, że gęstość prawdopodobieństwa rozkładu łącznego \(\displaystyle{ (X,Y)}\) jest zadana wzorem:
\(\displaystyle{ f(x,y) = \left\{\begin{array}{l} k \ dla \ 0 \le x \le 2, \ 0 \le y \le 1, \ x \ge 2y\\0 \ dla \ pozostałych \ x,y \end{array}}\)
a) wyznaczyć stałą \(\displaystyle{ k}\), dla której \(\displaystyle{ f}\) jest gęstością prawdopodobieństwa.
b) wyznaczyć \(\displaystyle{ P(X \ge 3Y)}\), tzn. wyznaczyć prawdopodobieństwo, że urządzenie filtrujące redukuje poziom zanieczyszczenia o więcej niż \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\).
Podpunkt a) zrobiłem, wyszło mi, że \(\displaystyle{ k}\) musi być równe \(\displaystyle{ 1}\) (nie jestem pewien, czy dobrze). Natomiast za nic nie potrafię sobie poradzić z podpunktem b).