Wskaz zgodny i nieobciazony estymator słuzacy do przyblizania \(\displaystyle{ \int_{0}^{1}f(x)dx}\) oblicz jego wariancje.
Proszę o pomoc
Estymator służący do przybliżania
Estymator służący do przybliżania
Szukałbym wśród kwadratur. Zobacz np. na kwadraturę Gaussa (może być dwupunktowa), na wzór Simpsona itp. Nie wiem czy te estymatory są zgodne i nieobciążone. Ale tak zaczynałbym poszukiwania.
Stawiam na kwadraturę Gaussa, bo w pewnym sensie jest ona optymalna. Może być dwupunktowa, może być trzypunktowa itp. Ale węzły w sposób dokładny możemy wyznaczyć tylko dla kwadratury do czterech węzłów włącznie.
Stawiam na kwadraturę Gaussa, bo w pewnym sensie jest ona optymalna. Może być dwupunktowa, może być trzypunktowa itp. Ale węzły w sposób dokładny możemy wyznaczyć tylko dla kwadratury do czterech węzłów włącznie.
Estymator służący do przybliżania
Zapewne funkcją zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) skupionej na \(\displaystyle{ [0,1]}\). W tym momencie mamy \(\displaystyle{ Ef(X)=\int_0^1 f(x)\dd x}\). Estymujemy więc \(\displaystyle{ Ef(X)}\).
W tym sensie znajdowanie estymatorów całki metodami statystycznymi uważam za zasadne.
W tym sensie znajdowanie estymatorów całki metodami statystycznymi uważam za zasadne.
-
- Użytkownik
- Posty: 1567
- Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 398 razy
Estymator służący do przybliżania
No właśnie. W związku z powyższym całkę estymuję się metodą monte carlo
Niech \(\displaystyle{ X_i}\) będzie ciągiem i.i.d, zmiennych o rozkładzie jednostajnym na \(\displaystyle{ [0,1]}\), \(\displaystyle{ f\in L^{2}(0,1)}\). Wtedy
\(\displaystyle{ \mathbb{E}f(X_i) = \int_{0}^{1}f(x)dx}\).
\(\displaystyle{ \mathbb{E}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(X_i)= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\mathbb{E}f(X_i) = \int_{0}^{1}f(x)dx}\)
\(\displaystyle{ P\left(\left| \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(X_i) - \int_{0}^{1}f(x)dx \right| >\varepsilon \right) \le \frac{1}{\varepsilon^2}Var \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(X_i) = \\ \\ = \frac{1}{n^2 \varepsilon^2}nVar f(X_i) = \frac{Var f(X_i)}{\varepsilon^2 n} \longrightarrow 0}\)
Tak więc \(\displaystyle{ \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(X_i)}\) jest tym, czego szukasz
Ponadto z MPWL mamy:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(X_i) =\int_{0}^{1}f(x)dx}\) p.n.
Niech \(\displaystyle{ X_i}\) będzie ciągiem i.i.d, zmiennych o rozkładzie jednostajnym na \(\displaystyle{ [0,1]}\), \(\displaystyle{ f\in L^{2}(0,1)}\). Wtedy
\(\displaystyle{ \mathbb{E}f(X_i) = \int_{0}^{1}f(x)dx}\).
\(\displaystyle{ \mathbb{E}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(X_i)= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\mathbb{E}f(X_i) = \int_{0}^{1}f(x)dx}\)
\(\displaystyle{ P\left(\left| \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(X_i) - \int_{0}^{1}f(x)dx \right| >\varepsilon \right) \le \frac{1}{\varepsilon^2}Var \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(X_i) = \\ \\ = \frac{1}{n^2 \varepsilon^2}nVar f(X_i) = \frac{Var f(X_i)}{\varepsilon^2 n} \longrightarrow 0}\)
Tak więc \(\displaystyle{ \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(X_i)}\) jest tym, czego szukasz
Ponadto z MPWL mamy:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(X_i) =\int_{0}^{1}f(x)dx}\) p.n.
Ostatnio zmieniony 14 cze 2014, o 19:33 przez Adifek, łącznie zmieniany 1 raz.
Estymator służący do przybliżania
Czyli kwadratura - metoda prostokątów Simpsonem czy Gausem też by można.
Ale fajnie to wytłumaczyłeś. Po prostu średnia z wartości \(\displaystyle{ f}\) na próbie jest estymatorem całki. Biorąc \(\displaystyle{ f(x)=x}\) dostajemy, że średnia z próby jest estymatorem zgodnym i nieobciążonym wartości oczekiwanej. Ładnie.
Inną kwestią jest dobranie ciągu zmiennych losowych do metody SImpsona czy kwadratury Gaussa. A że w Gaussie mamy węzły niewymierne, to może go jednak zarzucić. Simpson będzie dobry. Tam węzły są równo rozmieszczone. Oczko niżej - metoda prostokątów.
Ale fajnie to wytłumaczyłeś. Po prostu średnia z wartości \(\displaystyle{ f}\) na próbie jest estymatorem całki. Biorąc \(\displaystyle{ f(x)=x}\) dostajemy, że średnia z próby jest estymatorem zgodnym i nieobciążonym wartości oczekiwanej. Ładnie.
Inną kwestią jest dobranie ciągu zmiennych losowych do metody SImpsona czy kwadratury Gaussa. A że w Gaussie mamy węzły niewymierne, to może go jednak zarzucić. Simpson będzie dobry. Tam węzły są równo rozmieszczone. Oczko niżej - metoda prostokątów.
-
- Użytkownik
- Posty: 142
- Rejestracja: 6 lut 2012, o 19:49
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 93 razy
Estymator służący do przybliżania
Dziękuję bardzo za pomoc!
Mogłabym prosić jeszcze o pomoc przy obliczaniu wariancji tego estymatora?
Doszłam do tego:
\(\displaystyle{ Var \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(X_i) = \frac{1}{n^{2}} n^{2} Var f(X_i) = Var f(X_i) = ..}\)
i teraz korzystam ze wzoru: \(\displaystyle{ Var X = \int_{- \infty }^{+ \infty } (x - EX)^{2}f(x)dx}\)
\(\displaystyle{ .. = \int_{0}^{1}(x - \int_{0}^{1}f(x)dx )^{2}f(x)dx}\) = ..
to będzie coś takiego?
Mogłabym prosić jeszcze o pomoc przy obliczaniu wariancji tego estymatora?
Doszłam do tego:
\(\displaystyle{ Var \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(X_i) = \frac{1}{n^{2}} n^{2} Var f(X_i) = Var f(X_i) = ..}\)
i teraz korzystam ze wzoru: \(\displaystyle{ Var X = \int_{- \infty }^{+ \infty } (x - EX)^{2}f(x)dx}\)
\(\displaystyle{ .. = \int_{0}^{1}(x - \int_{0}^{1}f(x)dx )^{2}f(x)dx}\) = ..
to będzie coś takiego?
-
- Użytkownik
- Posty: 1567
- Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 398 razy
Estymator służący do przybliżania
Już pierwszy krok jest źle.
\(\displaystyle{ Var \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(X_i) = \frac{1}{n^{2}} Var\sum_{i=1}^{n} f(X_i) =\frac{1}{n^{2}} nVar f(X_i) = \frac{1}{n} Var f(X_i)}\)
(tak swoją drogą, to przecież wyżej to policzyłem...)
A dalej:
\(\displaystyle{ Var f(X_i) = \mathbb{E}\left[ f(X_i) - \int_{0}^{1}f(x)dx \right]^{2} = \\ \\= \mathbb{E}f^{2}(X_i) -2\int_{0}^{1}f(x)d x \cdot \mathbb{E}f(X_i) + \left( \int_{0}^{1}f(x)dx \right)^{2} = \\ \\ = \int_{0}^{1}f^{2}(x)dx - 2\left( \int_{0}^{1}f(x)d x\right)^{2} + \left( \int_{0}^{1}f(x)dx \right)^{2} = \\ \\ = \int_{0}^{1}f^{2}(x)dx - \left( \int_{0}^{1}f(x)dx \right)^{2}}\)
W szczególności widać, że w dowodach można wygodnie używać nierówności \(\displaystyle{ Varf(X_i ) \le ||f||_{2}^{2}}\).
\(\displaystyle{ Var \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(X_i) = \frac{1}{n^{2}} Var\sum_{i=1}^{n} f(X_i) =\frac{1}{n^{2}} nVar f(X_i) = \frac{1}{n} Var f(X_i)}\)
(tak swoją drogą, to przecież wyżej to policzyłem...)
A dalej:
\(\displaystyle{ Var f(X_i) = \mathbb{E}\left[ f(X_i) - \int_{0}^{1}f(x)dx \right]^{2} = \\ \\= \mathbb{E}f^{2}(X_i) -2\int_{0}^{1}f(x)d x \cdot \mathbb{E}f(X_i) + \left( \int_{0}^{1}f(x)dx \right)^{2} = \\ \\ = \int_{0}^{1}f^{2}(x)dx - 2\left( \int_{0}^{1}f(x)d x\right)^{2} + \left( \int_{0}^{1}f(x)dx \right)^{2} = \\ \\ = \int_{0}^{1}f^{2}(x)dx - \left( \int_{0}^{1}f(x)dx \right)^{2}}\)
W szczególności widać, że w dowodach można wygodnie używać nierówności \(\displaystyle{ Varf(X_i ) \le ||f||_{2}^{2}}\).