Warunkowa wartość oczekiwana

[Teano]

Rozważmy zbiór \(\displaystyle{ \Omega = [−2, 2]}\) z sigma algebra zbiorów borelowskich oraz prawdopodobienstwem \(\displaystyle{ P = \frac{1}{4}}\)μ, gdzie μ oznacza miare Lebesque’a na \(\displaystyle{ \Omega}\). Niech \(\displaystyle{ f(x) = x}\). Policz \(\displaystyle{ E( f^{2} |f)}\) oraz \(\displaystyle{ E(f|f^{2}).}\)

Proszę o pomoc.

[Adifek]

\(\displaystyle{ f^2}\) jest \(\displaystyle{ f}\)-mierzalna, więc \(\displaystyle{ \mathbb{E}[f^2|f] =f^2}\).

Zauważmy, że sigma ciało generowane przez \(\displaystyle{ f^2}\) jest generowane przez zbiory symetryczne względem zera. Uśrednianie \(\displaystyle{ f}\) na takich zbiorach daje zero. Stąd

\(\displaystyle{ \mathbb{E}[f|f^2] =0}\)