Statystyka - Prawdopodobieństwo - Wzór Bayesa

[Grd]

Witam wszystkich!

Niestety rozwiązując zadania na egzamin ze statystyki spotkałem się z problemem jak niektóre rozwiązać. Jest ich trochę dużo, ale jeżeli jesteście w stanie je rozwiązać i wstawić rozwiązania to będę bardzo wdzięczny.

Z góry dziękuję za pomoc!

1. Firmy A i B zaopatrują rynek w przetwory owocowe odpowiednio w 75% i 25%. W produkcji firmy A połowa jest I gatunku, a połowa II gatunku. W produkcji firmy B 80% jest I gatunku, a 20% II gatunku.
a) Oblicz prawdopodobieństwo tego, ze kupiony losowo przetwór jest I gatunku.
b) Kupiony losowo wybrany przetwór okazał się II gatunku. Oblicz prawdopodobieństwo tego, ze został zrobiony w A.

2. Popełniono przestępstwo na pewnej wyspie, na której 70% mieszkańców stanowią tubylcy
a) Oblicz p, ze przestępca był przyjezdny.
b) W trakcie śledztwa okazało się, ze przestępca palił papierosy. Oblicz p, ze przestępca był przyjezdny, jeśli wiadomo, ze palaczami jest 5% tubylców i 10% przyjezdnych.

3. W celu wykrycie sterydów w organizmie sportowców stosuje sie pewien test. Daje on wynik pozytywny w 95% przypadków osób, które brały sterydy, ale także w 15% przypadków osób, które nie brały sterydów. U pewnego sportowca test dał wynik pozytywny. Oblicz p, ze brał on sterydy, jeśli wiadomo, ze 10% sportowców bierze sterydy. (41%)

4. Dwóch zamaskowanych złodziei próbowało okraść bank, ale po włączeniu alarmu i zablokowaniu wyjść zdjęli maski i wmieszali się w tłum klientów. Policja chcąc wykryć złodziei wśród 40 osób, które twierdza, ze są niewinne, stosuje u każdej z tych osób wykrywacz kłamstw, który daje wynik ”winny” u 85% osób winnych i u 10% osób niewinnych. Oblicz p, ze pan A (jedna z zatrzymanych 40 osób) jest winny, jeśli wykrywacz kłamstw dał mu wynik ”winny”.

5. Strzelec trafia w cel z p równym 0.7 (dla każdego strzału). Oblicz prawdopodobieństwo tego, ze:
a) trafi dokładnie dziewięć razy na dziesięć strzałów.
b) pierwsze pudło będzie w czwartym strzale.

6. Bocian chodzi po łące. Jeśli zobaczy żabę, to z prawdopodobieństwem 0.6 ja zjada. Oblicz prawdopodobieństwo tego, ze:
a) bocian, który zobaczył 25 żab, zjadł 12.
b) siódma zobaczona przez bociana żaba była dopiero druga zjedzona przez niego.

[mostostalek]

1.
Na początek opiszmy sobie zdarzenia:
\(\displaystyle{ A}\) - zakup produktu firmy A
\(\displaystyle{ A'}\) - zakup produktu firmy b
\(\displaystyle{ B}\) - zakup produktu I gatunku
\(\displaystyle{ B'}\) - zakup produktu II gatunku.

a)
Z prawdopodobieństwa całkowitego:+
\(\displaystyle{ P(B)= P(B|A) \cdot P(A)+ P(B|A') \cdot P(A')=0,5 +\cdot 0,75 + 0,8 \cdot 0,25=0,375+0,2=0,575}\)
Przy losowo wybranym produkcie prawdopodobieństwo wybrania tego gatunku I wynosi 57,5%.

b)
\(\displaystyle{ P(A|B')= \frac{P(A) \cdot P(B'|A)}{P(B')}}\)

Wystarczy zauważyć, że \(\displaystyle{ P(B')=1-P(B)}\), wstawić liczby i wyliczyć..

-- 16 czerwca 2014, 13:28 --

2.
\(\displaystyle{ T}\) - przestępca był tubylcem
\(\displaystyle{ T'}\) - przestępca był przyjezdnym
\(\displaystyle{ F}\) - dana osoba pali papierosy
\(\displaystyle{ F'}\) - dana osoba nie pali papierosów

a)\(\displaystyle{ P(T')=1-P(T)=1-0,7=0,3}\)

b)\(\displaystyle{ P(T'|F)= \frac{P(T') \cdot P(F|T')}{P(F)}}\)

\(\displaystyle{ P(F)}\) obliczamy z prawdopodobieństwa całkowitego dokładnie jak w zadaniu 1.

-- 16 czerwca 2014, 13:41 --

3.
\(\displaystyle{ S}\) - dany sportowiec bierze sterydy
\(\displaystyle{ S'}\) - dany sportowiec nie bierze sterydów
\(\displaystyle{ T}\) - test dał wynik pozytywny
\(\displaystyle{ T'}\) - test dał wynik negatywny

\(\displaystyle{ P(S|T)=\frac{P(S) \cdot P(T|S)}{P(T)}=*}\)

\(\displaystyle{ P(T)=P(T|S) \cdot P(S) + P(T|S') \cdot P(S')=0,95 \cdot 0,1 + 0,15 \cdot 0,9=0,095+0,135=0,23}\)

\(\displaystyle{ *=\frac{0,1 \cdot 0,95}{0,24}=\frac{0,095}{0,23} \approx 0,41}\)-- 16 czerwca 2014, 13:45 --4.
Spróbuj zrobić analogicznie do poprzednich..
UWAGA:
Jeśli za Z oznaczymy zdarzenie, że wybrany człowiek z tłumu jest złodziejem to \(\displaystyle{ P(Z)=\frac{2}{40}=0,05}\)