Czy wyjaśnił by mi ktoś o co w tym wszystkim chodzi. Nie rozumiem tego w ogóle, a w piątek mam kolokwium.
Z góry dziękuję.
Niech \(\displaystyle{ \left\{ X_{n}\right\}_{n \in \mathbb{P}}}\) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych, takich, że
\(\displaystyle{ \mathbb{P}\left( X_{n}=1\right)= \frac{1}{n^{2}}, \qquad \mathbb{P}\left( X_{n}=0\right)= 1-\frac{1}{n^{2}}.}\)
Zbadać zbieżność podanego ciągu do 0 wg. prawdopodobieństwa i prawie wszędzie.
\(\displaystyle{ \frac{1}{n^{2}}> \varepsilon \Rightarrow n< \frac{1}{ \sqrt{\varepsilon } }}\) oraz
\(\displaystyle{ n< \frac{1}{ \sqrt{1-\varepsilon } }}\)
Niech \(\displaystyle{ \varepsilon \in \left( 0,1\right)}\) - to rozumiem.
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \mathbb{P}\left( \left| X_{n}-X>\varepsilon\right| \right)< \infty}\)
I od tego momentu widzę ciemność.
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n^{2}}= \frac{ \pi ^{2}}{6}< \infty}\) - dlaczego bierzemy \(\displaystyle{ \frac{1}{n^{2}}}\), a co z \(\displaystyle{ 1-\frac{1}{n^{2}}}\) ?
Niech \(\displaystyle{ \varepsilon \ge 1}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } 0= 0 < \infty}\) - wydaje mi się, że to wynika z tego \(\displaystyle{ 1-\frac{1}{n^{2}}}\) , że prawdopodobieństwo nigdy nie osiągnie 1.
Zatem \(\displaystyle{ X_{n}\xrightarrow{a.s.} 0}\) , a stąd \(\displaystyle{ X_{n}\xrightarrow{\mathbb{P}} 0}\)
Poza tym co się będzie dziać jeśli zmienna losowa \(\displaystyle{ X_{n}}\) przyjmie wartości inne niż 1,0.
Np.
\(\displaystyle{ \mathbb{P}\left( X_{n}=-n-4\right)= \frac{1}{n+4}, \qquad \mathbb{P}\left( X_{n}=n+4\right)= \frac{3}{n+4}.}\)
zbieżność do -1?-- 13 cze 2014, o 19:33 --Już rozumiem.