Wartość oczekiwana najmniejszego pola prostokąta

[nmmjm93]

Kwadrat \(\displaystyle{ \left[ 0,1\right] ^{2}}\) przecięto dwiema losowymi prostymi, poziomą i pionową. Niech \(\displaystyle{ X}\) oznacza najmniejsze spośród powstałych prostokątów. Wyznaczyć wartość oczekiwaną \(\displaystyle{ X}\)

Niech \(\displaystyle{ a,b}\) oznaczają wartość pionowej i poziomej kreski.
Wtedy \(\displaystyle{ X=min\left\{ ab,(1-a)b,(1-a)(1-b), a(1-b) \right\}}\)
Chciałam najpierw policzyć: \(\displaystyle{ P(X \le t) = 1-P(X>t)}\) czyli,że każdy składnik \(\displaystyle{ ab,(1-a)b,(1-a)(1-b), a(1-b) \right\}}\) jest większy od t. Rachunki jednak nie są zbyt przyjmne, można to jakoś ładniej rozwiązać?

[Zordon]

Narysuj sobie w układzie wsp. (a,b), obszar dla którego (dajmy na to) \(\displaystyle{ X\leq \frac{1}{5}}\). Pole daje szukane prawdopodobieństwo. Potem zamiast \(\displaystyle{ 1/5}\) staraj się to narysować dla parametru \(\displaystyle{ t\in [0,1/4]}\)

edit: można też zauważyć, że \(\displaystyle{ X=\min(a,1-a)\cdot \min(b,1-b)}\)
Czyli równoważnie, \(\displaystyle{ X=Y_1\cdot Y_2}\), gdzie \(\displaystyle{ Y_1,Y_2}\) niezależne o rozkładzie \(\displaystyle{ U[0,1/2]}\)

[nmmjm93]

nie wiem czy czegoś nie pokręciłam:
gęstość: \(\displaystyle{ g( y_{1}, y_{2})=2}\) na kradracie \(\displaystyle{ \left[ 0, \frac{1}{2} \right] ^{2}}\), czyli
\(\displaystyle{ P(X \le t)= P(Y _{1}*Y _{2} \le t)= P(Y _{1} \le \frac{t}{Y _{2}} )}\) i potem całka z gęstości po odpowiednich przedziałach wychodzi mi \(\displaystyle{ 2t\ln(y _{2})}\) granicy \(\displaystyle{ 1/2}\) do \(\displaystyle{ 0.}\)

[Zordon]

Gęstość musi być \(\displaystyle{ 4}\) zamiast \(\displaystyle{ 2}\).
Dla \(\displaystyle{ 0\geq t\geq 1/4}\) trzeba policzyć całkę:
\(\displaystyle{ P(X\leq t)=\int\limits_{\substack{xy\le t \\ 0\le x,y\le 1/2}} 4 dxdy}\)
Narysuj sobie obszar całkowania i potem łatwo.

[nmmjm93]

Teraz wyszło, dziękuję!