Wyznacz dystrybuantę.

[TSTR]

Witam.
Mam wyznaczyć dystrybuantę z:
\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} ax ^{2}, dla x \in <-2;0> \\ ax ^{3}, dla x \in <0,1> \\ ax, dla x \in <2;3> \\ 0, dla wpp \end{cases}}\)
Robiąc to na przykładzie innego zadania wyszło mi:
\(\displaystyle{ f(x) \begin{cases} 2ax, dla x \in <-2;0>\\ 3ax dla x \in <0;1> \\ a dla x \in <2;3> \\ 0, dla wpp \end{cases}}\)
A wyszło mi: \(\displaystyle{ a= \frac{12}{65}}\)
Czy ktoś może mi sprawdzić, czy dobrze zrozumiałem zagadnienie? A jeśli źle, to przynajmniej wyjaśni mi gdzie popełniam błąd w rozumowaniu.
Na ćwiczeniach także obliczaliśmy całki z tego pierwszego układu równań. Np. pierwsza linijka tego równania wyglądałaby:
\(\displaystyle{ \left[ \frac{x ^{3} }{3} \right]_{-2}^{0} + \left[ \frac{x ^{4} }{4} \right]_{0}^{1} + \left[ \frac{x ^{2}}{2} \right]_{2}^{3}}\)
Wynik tego wyszedł mi \(\displaystyle{ \frac{57}{12}}\). Ktoś może mi powiedzieć co to jest?
Z góry dziękuję za odpowiedzi. Pozdrawiam TSTR

[pyzol]

Masz podaną gęstość. Całka z gęstości powinna być równa \(\displaystyle{ 1}\).
W twoim przypadku masz:
\(\displaystyle{ \int_{\RR}f(x)\dd x=\int_{-\infty}^{-2}0\dd x+\int_{-2}^0 ax^2 \dd x+...+\int_3^{\infty}0 \dd x}\)
Z tego wychodzi Ci coś w tym stylu co miałeś podane na ćwiczeniach:
\(\displaystyle{ a\left[ \frac{x ^{3} }{3} \right]_{-2}^{0} + a\left[ \frac{x ^{4} }{4} \right]_{0}^{1} + a\left[ \frac{x ^{2}}{2} \right]_{2}^{3}}\)
I to ma być równe jeden. Czyli masz takie równanie:
\(\displaystyle{ a\left( \left[ \frac{x ^{3} }{3} \right]_{-2}^{0} + \left[ \frac{x ^{4} }{4} \right]_{0}^{1} + \left[ \frac{x ^{2}}{2} \right]_{2}^{3}\right)=1}\)
Z tego wyznaczasz współczynnik \(\displaystyle{ a}\), który wychodzi \(\displaystyle{ \frac{12}{65}}\)
Natomiast dystrybuanty nigdzie nie widzę. Swoją drogą ciekawi mnie, jka wyszło Ci poprawne \(\displaystyle{ a}\), skoro:
\(\displaystyle{ \left[ \frac{x ^{3} }{3} \right]_{-2}^{0} + \left[ \frac{x ^{4} }{4} \right]_{0}^{1} + \left[ \frac{x ^{2}}{2} \right]_{2}^{3}}\)
wyszło u Ciebie \(\displaystyle{ \frac{57}{12}}\), a nie \(\displaystyle{ \frac{65}{12}}\)

[TSTR]

Masz podaną gęstość. Całka z gęstości powinna być równa \(\displaystyle{ 1}\).
W twoim przypadku masz:
\(\displaystyle{ \int_{\RR}f(x)\dd x=\int_{-\infty}^{-2}0\dd x+\int_{-2}^0 ax^2 \dd x+...+\int_3^{\infty}0 \dd x}\)
Z tego wychodzi Ci coś w tym stylu co miałeś podane na ćwiczeniach:
\(\displaystyle{ a\left[ \frac{x ^{3} }{3} \right]_{-2}^{0} + a\left[ \frac{x ^{4} }{4} \right]_{0}^{1} + a\left[ \frac{x ^{2}}{2} \right]_{2}^{3}}\)
I to ma być równe jeden. Czyli masz takie równanie:
\(\displaystyle{ a\left( \left[ \frac{x ^{3} }{3} \right]_{-2}^{0} + \left[ \frac{x ^{4} }{4} \right]_{0}^{1} + \left[ \frac{x ^{2}}{2} \right]_{2}^{3}\right)=1}\)
Z tego wyznaczasz współczynnik \(\displaystyle{ a}\), który wychodzi \(\displaystyle{ \frac{12}{65}}\)

Do tego momentu mam rozwiązane tak jak Ty pisałeś.
Co do tego drugiego wyniku, można oficjalnie stwierdzić, że mam inteligencję buta i źle pomnożyłem i zupełnie nie zauważyłem, że robię to samo drugi raz
Ktoś mógłby mi podpowiedzieć jak wykonać dystrybuantę do tego?
---
Szukając informacji na temat tego zadania znalazłem wzór:
\(\displaystyle{ P(a<X<b)= \int_{a}^{b}f(x)dx}\)
Podstawiając kolejno wyszło mi:
\(\displaystyle{ P=
\begin{cases} 0,dla x \le -2
\\ \frac{32}{65},dla x \in (-2 ; 0 >
\\ \frac{3}{65}, dla x \in (0;1>
\\ 0, dla x \in (1;2>
\\ \frac{30}{65}, dla x \in (2;3>
\\ 0, dla x>3
\end{cases}}\)

[kropka+]

Masz podać równania dystrybuanty w przedziałach podobnych do tych w jakich podano gęstość, ale w odpowiednich miejscach dopisujesz jeszcze przedziały \(\displaystyle{ <- \infty ,-2>;<1,2>;<3,+ \infty >}\)

[TSTR]

Czyli jak rozumiem dystrybuanta powinna wyglądać:
\(\displaystyle{ F(x)= \begin{cases}
0,dla.x \le -2
\\ \frac{32}{65}, dla.x \in (-2;0>
\\ \frac{35}{65},dla.x \in (0;1>
\\ \frac{35}{65},dla.x \in (1;2>
\\ 1,dla.x \in (2;3>
\end{cases}}\)
czy
\(\displaystyle{ F(x)= \begin{cases}
0,dla.x \le -2
\\ \frac{32}{65}, dla.x \in (-2;0>
\\ \frac{35}{65},dla.x \in (0;1>
\\ \frac{35}{65},dla.x \in (1;2>
\\ 1,dla.x >3
\end{cases}}\)
?

[kropka+]

Ty nie masz liczyć \(\displaystyle{ P(a<X<b)}\) tylko \(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{x}f(x)dx}\), bo to jest dystrybuanta.

[TSTR]

Czyli wszystkie te moje obliczenia są złe?
Czy mogłaby Pani chociaż jedne obliczenia zrobić? Bo ja już kompletnie nie wiem co mam liczyć i tym bardziej jak

[kropka+]

To mają być równania a nie liczby. Popatrz na mój poprawiony post. Czyli zawsze ostatnia dodawana całka musi być do \(\displaystyle{ x}\), a nie do końca przedziału. Tylko skrajne całki, są liczbami (dobrze masz te skrajne).

[TSTR]

Aha.
Teraz mam ponownie wrażenie, że coś rozumiem
Z tego wychodzi np, że pierwsze równianie (w którym coś się dzieje) powinno wyglądać:
\(\displaystyle{ \frac{12}{65}* \int_{-2}^{x} x^{2} dx}\) ?:)

[kropka+]

\(\displaystyle{ a= \frac{12}{65}}\)

[TSTR]

Dopiero co to zauważyłem
Ale zarys ogólnie dobry?

[kropka+]

Tak. Ostatni przedział to będzie oczywiście \(\displaystyle{ F(x)=1}\) dla \(\displaystyle{ x > 3}\).

[TSTR]

Mam nadzieję, że po raz ostatni Panią fatyguję I tak bardzo dziękuję za poświęcony czas dla nieogarniętego studenta
---
Zmienione, gdyż zacząłem wymyślać nową matematykę

[kropka+]

\(\displaystyle{ F(x)= \begin{cases} 0 \ dla \ x<-2 \\ \frac{12}{65} \left( \frac{x ^{3}+8 }{3} \right) \ dla \ x \in (-2,0> \\ \frac{12}{65}\left( \frac{8}{3}+ \frac{x ^{4} }{4} \right) \ dla \ x \in (0,1> \\ \frac{12}{65}\left( \frac{8}{3} +\frac{1}{4} \right) \ dla \ x \in (1,2> \\ \frac{12}{65}\left( \frac{8}{3}+ \frac{1}{4} + \frac{x ^{2} }{2}-2 \right) \ dla \ x \in (2,3> \\ 1 \ dla \ x>3 \end{cases}}\)